一条方程是线性的，另一条含有平方项或 xy 乘积时，就用代入法。先把线性方程化成某个未知数的表达式，代入另一条，再解得到的二次方程。
这一课属于联立方程单元。过程需要用到二次方程的因式分解，如果觉得慢，可以先复习那一部分。
步骤是什么？
- 整理线性方程，让 y（或 x）单独在一边。
- 代入非线性方程，代入的式子要加括号。
- 展开并合并同类项，写成等于零的二次方程。
- 解出第一个未知数，通常有两个值。
- 回到线性方程求出每个值对应的另一个值，再检验两条方程。
例题一：圆与直线
解 x + y = 5 和 x² + y² = 13。
由线性方程得 y = 5 − x。代入：x² + (5 − x)² = 13。
展开：x² + 25 − 10x + x² = 13，所以 2x² − 10x + 12 = 0，化简为 x² − 5x + 6 = 0，因式分解得 (x − 2)(x − 3) = 0。
所以 x = 2 或 x = 3。当 x = 2，y = 3；当 x = 3，y = 2。答案是 (2, 3) 和 (3, 2)。检验 (3, 2)：3 + 2 = 5，9 + 4 = 13。
例题二：乘积与分数根
解 y = 2x − 1 和 xy = 15。
代入：x(2x − 1) = 15，所以 2x² − x − 15 = 0，因式分解得 (2x + 5)(x − 3) = 0。
所以 x = 3 或 x = −5/2（即 −2.5）。对应的 y 分别是 2(3) − 1 = 5 和 2(−5/2) − 1 = −6。答案是 (3, 5) 和 (−2.5, −6)。
检验第二组：xy = (−2.5)(−6) = 15，而 2(−2.5) − (−6) = 1，成立。负数的那一组看起来怪，但它是有效的解。
会丢分的错误
常见的失误是把 (5 − x)² 展开成 25 − x² 或 25 + x²，漏掉了中间项 −10x。二次方程的系数就会错，根也跟着错。
| 步骤 | 错误 | 正确 |
|---|---|---|
| 展开 (5 − x)² | 25 − x² | 25 − 10x + x² |
| 合并 | x² + 25 − x² = 13，x² 消失了 | 2x² − 10x + 12 = 0 |
| 结果 | 没有二次方程可解 | x = 2 或 3 |
如果展开后 x² 项全部抵消，就要停下来。这类题代入后应该得到二次方程，请重新检查展开。
自我检查
解 x − y = 2 和 x² + y² = 10。
答案
由第一条得 x = y + 2，所以 (y + 2)² + y² = 10，即 2y² + 4y − 6 = 0，化简为 y² + 2y − 3 = 0。因式分解 (y + 3)(y − 1) = 0，所以 y = 1 或 y = −3。
对应的 x 分别是 3 和 −1。答案是 (3, 1) 和 (−1, −3)。检验 (−1, −3)：−1 − (−3) = 2，1 + 9 = 10。
接下来学什么
下一课学怎样挑最快的方法：选择代入法或消元法。再看什么时候要舍去某个答案：在应用题中舍去不合理的解。
想让老师陪你练习，可以看线上一对一附加数学补习。