排列有条件时，先处理条件。要么把对象捆成一个整体，要么减去不要的情况，要么先填受限的位置再填其余。
必须相邻的对象怎么处理？
把它们粘成一个整体。五位同学排成一行，阿明和美玲必须相邻，就变成四个对象：那个整体，再加另外三个人。
四个对象有 4! 种排法，然后阿明和美玲在整体内部有 2! 种排法。
总数是 4! × 2! = 24 × 2 = 48。
不许相邻的呢？
用补集。五位同学排成一行，全部排法是 5! = 120。减去阿明和美玲相邻的 48 种：120 − 48 = 72。
这样就不必一种一种列出分开的情况。它还能自我检查：48 + 72 必须等于 120。
例题：组成偶数
用数字 1、2、3、4、5、6 组成没有重复数字的四位偶数，一共有多少个？
限制在个位，所以先填个位：
- 个位必须是 2、4 或 6：3 种选择。
- 千位可以用剩下 5 个数字中的任何一个：5 种。
- 百位剩下 4 种，十位剩下 3 种。
总数是 3 × 5 × 4 × 3 = 180。
如果先填千位，你还要判断它有没有用掉一个偶数，计数就要分成几种情况。先填个位，就避开了这个分叉。
最容易丢分的地方
“相邻”那题常见的失误是写成 5! × 2!。整体只算一个对象，所以整体加其他对象是四个，不是五个。
| 步骤 | 错误 | 正确 |
|---|---|---|
| 要排列的对象数 | 5（两个人加另外三个人） | 4（整体加另外三个人） |
| 整体内部 | 2! | 2! |
| 总数 | 5! × 2! = 240 | 4! × 2! = 48 |
快速检查：相邻的排法不可能比全部排法 120 还多，而 240 超过了。
自己试试
六个人排成一行，其中两个指定的人 P 和 Q 必须站在两端。有多少种排法？
答案
先填两端。P 在左端、Q 在右端，或者反过来：2 种。
其余四个人排在中间四个位置，有 4! = 24 种。
总数是 2 × 24 = 48。
下一步学什么
接着学有必选成员的选取，同样的思路用在次序不重要的分组上。用应用题结构工作表 (英文)把条件和主要任务分开。
如果计数题里的条件总是让你卡住，可以了解附加数学一对一线上补习。