和角公式把两个角的和或差的三角函数展开。倍角公式是它的特殊情形，两个角相等。
公式有哪些？
| 公式 | 倍角形式（B = A） |
|---|---|
| sin(A ± B) = sin A cos B ± cos A sin B | sin 2A = 2 sin A cos A |
| cos(A ± B) = cos A cos B ∓ sin A sin B | cos 2A = cos²A − sin²A = 2cos²A − 1 = 1 − 2sin²A |
| tan(A ± B) = (tan A ± tan B) ÷ (1 ∓ tan A tan B) | tan 2A = 2 tan A ÷ (1 − tan²A) |
注意余弦的符号会翻转：cos(A + B) 的两项之间是减号。
例题一：精确值
求 sin 75° 的精确值。
把 75° 写成 45° + 30°。则 sin 75° = sin 45° cos 30° + cos 45° sin 30° = (√2 ÷ 2)(√3 ÷ 2) + (√2 ÷ 2)(1 ÷ 2) = (√6 + √2) ÷ 4。
用数值核对：(2.449 + 1.414) ÷ 4 ≈ 0.966，而 sin 75° ≈ 0.966。
例题二：从已知的比值出发
已知 sin A = 3/5，A 是锐角，求 sin 2A 和 cos 2A。
A 是锐角，所以由 3-4-5 三角形得 cos A = 4/5。于是 sin 2A = 2 sin A cos A = 2 × 3/5 × 4/5 = 24/25，cos 2A = 1 − 2sin²A = 1 − 2(9/25) = 7/25。
检验：(24/25)² + (7/25)² = (576 + 49) ÷ 625 = 1。
例题三：方程
解 sin 2x = sin x，范围 0° ≤ x ≤ 360°。
把 sin 2x 换成 2 sin x cos x：2 sin x cos x − sin x = 0，所以 sin x(2cos x − 1) = 0。不可以两边除以 sin x，因为这样会丢掉 sin x = 0 的解。
sin x = 0 给出 x = 0°、180°、360°。cos x = ½ 给出 x = 60°、300°。完整的答案是 0°、60°、180°、300°、360°。
会丢分的错误
常见的失误是把公式当成可以分配的，写成 sin(A + B) = sin A + sin B，或者 sin 2A = 2 sin A。
| 步骤 | 错误 | 正确 |
|---|---|---|
| 展开 sin 2A | 2 sin A | 2 sin A cos A |
| 用 A = 30° 测试 | 2 sin 30° = 1 | sin 60° = 0.866，2 × 0.5 × 0.866 = 0.866 |
| 结论 | 测试不通过 | 测试通过 |
在长题目里用一条新公式之前，先用一个简单的角度测试它。
自我检查
已知 cos A = 5/13，A 是锐角，求 sin 2A 和 cos 2A。
答案
A 是锐角，所以由 5-12-13 三角形得 sin A = 12/13。
sin 2A = 2 × 12/13 × 5/13 = 120/169，cos 2A = 2cos²A − 1 = 2(25/169) − 1 = −119/169。
检验：120² + 119² = 14 400 + 14 161 = 28 561 = 169²。
接下来学什么
下一课看这些函数画成图像的样子：画变换后的三角函数图像。然后用三角函数练习题测试整个单元。
想让老师陪你练习这些公式，可以看线上一对一附加数学补习。