附加数学 · 三角函数

画变换后的三角函数图像

sin x 会画，函数多一个数，图就画歪。

对 y = a sin bx + c，a 决定振幅，b 决定周期（360° ÷ b），c 决定曲线上下平移多少。先读出这三个值，再标关键点，最后把点顺滑地连起来。

每个数有什么作用？

a 是负数，曲线就上下翻转。

读出数值：振幅 2，周期 360° ÷ 3 = 120°，中线 y = 1。最大值是 1 + 2 = 3，最小值是 1 − 2 = −1。

一个周期长 120°，把它分成四等份，每份 30°。

x	0°	30°	60°	90°	120°
y	1	3	1	−1	1

把这个周期重复三次，直到 360°。曲线从 (0, 1) 出发，最大点在 x = 30°、150°、270°，最小点在 x = 90°、210°、330°。

画 y = |sin 2x|，0° ≤ x ≤ 180°。

y = sin 2x 的周期是 180°，在 x = 45° 有最大值 1，在 x = 135° 有最小值 −1。绝对值把负的部分向上翻，所以曲线始终在 0 和 1 之间。

结果是：在 x = 0°、90°、180° 处为零，在 x = 45° 和 x = 135° 处有最大值 1。两个拱形完全相同，在零点处出现尖角。

常见的失误是求周期时用乘而不用除，对 y = sin 3x 写成 360° × 3 = 1080°。

b 越大，放得下的周期越多。一个快速的常识检查是：y = sin 3x 一定比 y = sin x 重复得更快，不可能更慢。

对 y = 3 cos 2x − 2，写出振幅、周期、最大值与最小值，以及在 0° ≤ x ≤ 360° 内最大点的个数。

答案

振幅是 3。周期是 360° ÷ 2 = 180°。中线是 y = −2，所以最大值是 −2 + 3 = 1，最小值是 −2 − 3 = −5。

最大点出现在 cos 2x = 1 的地方，所以 2x = 0°、360°、720°，得 x = 0°、180°、360°。共有 三个最大点，包括两个端点。

用三角函数练习题测试整个单元，里面有一道关于草图特征的题目。如果图像的失误一再出现，就记进错题记录。

想让老师陪你检查草图，可以看线上一对一附加数学补习。

周期是 360° ÷ b，用弧度则是 2π ÷ b。对 y = sin 3x，周期是 120°，所以在 0° 到 360° 之间，曲线走完三个周期。

在 y = a sin bx + c 里，c 把整条曲线向上平移，c 是负数就向下。最大值变成 c + |a|，最小值变成 c − |a|，振幅仍是 |a|。

标出截距、最大点、最小点和区间的端点，并写上坐标。草图需要的是形状和这些有标注的点，不必列表描点。

对 y = |f(x)|，x 轴下方的部分要向上翻折。曲线不会低于零，并且在穿过 x 轴的地方出现尖角。

如果变换后的图像在脑中是对的，画到纸上却不对，一对一的老师可以在你自己的草图上检查关键点。