附加数学 · 解三角形

模棱两可的正弦定理情形

算出一个角就停笔，答案却只对了一半。

已知两条边和一个不是夹角的角时，同样的数据可能画不出三角形，也可能画出一个或两个，这就是模棱两可的情形。

这一课属于三角形的解法，假设你已经会选择正弦定理。

为什么会有两个答案？

一个角和它的补角，正弦值是一样的，例如 sin 30° = sin 150° = 0.5。用正弦定理求角 B 时，计算器只给出较小的那个角，但较大的 180° − B 也可能构成三角形。

只要这个较大的角加上已知的角仍小于 180°，两个答案就都成立。

这是一道原创例题。三角形 ABC 中，A = 30°，a = 6 cm，b = 10 cm。求角 B 和边 c。

第一步。 正弦定理：sin B = b sin A ÷ a = 10 × 0.5 ÷ 6 = 0.8333。

第二步。 B = 56.44°，或 B = 180° − 56.44° = 123.56°。

第三步。 检验：30° + 56.44° = 86.44°，30° + 123.56° = 153.56°，都小于 180°，所以两个三角形都存在。

用边长核对：大角对大边。三角形 1 中 C = 93.56° 最大，c = 11.98 cm 最长。三角形 2 中 B = 123.56° 最大，b = 10 cm 最长。

当 A 是锐角，把 a 和 b、以及 b sin A 比较。

再看两个简单的例子。A = 40°，a = 9，b = 7：sin B = 7 × 0.6428 ÷ 9 = 0.5，所以 B = 30.0°。另一个角是 150.0°，加上 40° 超过 180°，所以只有一个三角形。

A = 30°，a = 4，b = 10：sin B = 10 × 0.5 ÷ 4 = 1.25，不可能，所以没有三角形。

常见的失误是算出第一个角就停笔。解答看起来完整，数字也没错，却少了一个答案。

给自己定一条规矩：用正弦定理求角时，每次按了 sin⁻¹，就写出它的补角并检验。

三角形 ABC 中，A = 35°，a = 8 cm，b = 11 cm。可以画出几个三角形？求角 B 的可能值。

答案

sin B = 11 × sin 35° ÷ 8 = 6.309 ÷ 8 = 0.7887，所以 B = 52.1°，或 B = 180° − 52.1° = 127.9°。

检验：35° + 52.1° = 87.1°，35° + 127.9° = 162.9°，都小于 180°。所以有两个三角形，B = 52.1° 或 127.9°。

条件核对：b sin A = 6.31 < a = 8 < b = 11，符合两个三角形的那一行。

下一课讲怎样在已知的角不是夹角时求三角形面积，见非夹角的三角形面积。然后试试三角形解法练习题。

想让老师陪你做模棱两可的题目，可以看线上一对一附加数学补习。

sin 30° 和 sin 150° 都等于 0.5，一个角和它的补角有相同的正弦值。计算器的 sin⁻¹ 只给出较小的那个，较大的 180° − B 也可能构成三角形。

把补角和已知的角相加，小于 180° 就成立。例如 A = 30°，补角是 123.56°，两者之和是 153.56°，小于 180°，所以第二个三角形存在。

任何角的正弦值都不会大于 1，所以这组数据画不出三角形。也可以比较 a 和 b sin A：a 比 b sin A 小，说明 a 这条边太短，够不到另一条边。

如果在正弦定理之后总是漏掉第二个答案，一对一的老师可以特意出会产生两个三角形的题目，让“写出补角并检验”变成习惯。