附加数学 · 解三角形

选择正弦还是余弦定理

两条公式都背熟了，做题时却常常一开始就选错。

已知一条边和它的对角，就用正弦定理。已知两条边和它们的夹角，或者三条边，就用余弦定理。

这一课属于三角形的解法。做题时先看题目给了什么，再写公式。

题目给了什么？

三角形的边记作 a、b、c，分别对着角 A、B、C。先把已知条件对照下表，看属于哪一种。

要不要用正弦定理，只需问一个问题：手上有没有一条边和它的对角都已知。

三角形 ABC 中，AB = 8 cm，AC = 11 cm，A = 60°。求 BC。

角 A 夹在 AB 和 AC 之间，BC 是它的对边。没有任何一对边和对角已知，所以用余弦定理：

BC² = 8² + 11² − 2(8)(11) cos 60° = 64 + 121 − 176(0.5) = 185 − 88 = 97

BC = √97 = 9.85 cm。

三角形 PQR 中，P = 52°，Q = 64°，QR = 14 cm。求 PR。

QR 对着 P，所以 (52°, 14 cm) 是已知的一对。PR 对着 Q。用正弦定理：

PR ÷ sin 64° = 14 ÷ sin 52°

PR = 14 × sin 64° ÷ sin 52° = 14 × 0.8988 ÷ 0.7880 = 16.0 cm。

三角形的三边是 6 cm、7 cm、9 cm。求 9 cm 那条边所对的角。

设 9 cm 那条边是 c。cos C = (6² + 7² − 9²) ÷ (2 × 6 × 7) = (36 + 49 − 81) ÷ 84 = 4 ÷ 84 = 0.0476，所以 C = 87.3°。

常见的失误是 SAS 的题也用正弦定理，因为它看起来比较短。拿例题一来说，写成 BC ÷ sin 60° = 8 ÷ sin C，BC 和 sin C 都是未知数，一条方程解不出两个未知数。

代入之前先写一行，注明这是哪一种（SAS、AAS 等）。这个习惯能避免大部分选错定理的情况。

三角形 KLM 中，KL = 12 cm，K = 40°，L = 75°。求 LM。你用哪一条定理？要先求什么？

答案

已知两个角和一条边，用正弦定理。LM 对着 K，但 KL 对着 M，所以先求 M：180° − 40° − 75° = 65°。

LM ÷ sin 40° = 12 ÷ sin 65°

LM = 12 × sin 40° ÷ sin 65° = 12 × 0.6428 ÷ 0.9063 = 8.51 cm。

有些正弦定理的题目，已知的角不在两条已知边之间，答案可能有两个。接着读模棱两可的正弦定理情形，再用错题记录追踪自己的失误。

想让老师陪你做三角形的题目，可以看线上一对一附加数学补习。

已知一条边和它的对角，而且还有一个角或一条边，用正弦定理。已知两条边和它们的夹角，或者三条边，用余弦定理。关键是看手上有没有一条边和它的对角。

这种情形叫 SSA，先用正弦定理，因为已知的角和它的对边是一对。但要记得检查模棱两可的情形，同样的数据可能画出两个三角形。

SAS 里没有任何一对边和对角是已知的。用正弦定理，方程会有两个未知数，解不出来。这时要先用余弦定理求出夹角的对边。

如果你总是没判断条件就直接套公式，一对一的老师可以要求你每题先写出类型，再用新题检查这个习惯有没有养成。