配方是把二次式改写成 a(x + p)² + q。转折点就是 (−p, q)：a > 0 时是最小值，a < 0 时是最大值。
这一课属于二次函数。和它相对应的，是用判别式判断根的类型。
为什么 a(x + p)² + q 能显示转折点？
平方永远不是负数，x + p = 0 的时候它刚好是零。所以 a 为正时，x = −p 取得最小值 q。
这一点让你一眼看出转折点，不必用微积分，也不必画图。
例题一：a = 1
这是一道原创例题。把 f(x) = x² − 8x + 19 写成 (x + p)² + q 的形式。
- 取 x 的系数的一半：−8 ÷ 2 = −4。
- 写出 (x − 4)²，展开是 x² − 8x + 16。
- 调整常数：19 − 16 = 3。
- 所以 f(x) = (x − 4)² + 3。
最小值是 3，出现在 x = 4，转折点是 (4, 3)。核对：f(4) = 16 − 32 + 19 = 3。
例题二：a = 3
把 g(x) = 3x² + 12x + 5 写成 a(x + p)² + q 的形式。
- 只对含 x 的两项提出 3：g(x) = 3(x² + 4x) + 5。
- 在括号里配方：x² + 4x = (x + 2)² − 4。
- 代入：g(x) = 3[(x + 2)² − 4] + 5。
- 把外面的 3 乘进去：g(x) = 3(x + 2)² − 12 + 5 = 3(x + 2)² − 7。
最小值是 −7，出现在 x = −2。核对：g(−2) = 12 − 24 + 5 = −7。
例题三：a 是负数
把 h(x) = −x² + 6x − 2 写成 a(x + p)² + q 的形式。
- 对含 x 的两项提出 −1：h(x) = −(x² − 6x) − 2。
- 配方：x² − 6x = (x − 3)² − 9。
- 代入：h(x) = −[(x − 3)² − 9] − 2 = −(x − 3)² + 9 − 2。
- 所以 h(x) = −(x − 3)² + 7。
a 是负数，图像开口向下，7 是最大值，出现在 x = 3。核对：h(3) = −9 + 18 − 2 = 7。
最容易丢分的失误
例题二里常见的失误，是忘了把括号里的 −4 乘以外面的 3。结果写成 3(x + 2)² − 4 + 5 = 3(x + 2)² + 1。
| 步骤 | 错误做法 | 正确做法 |
|---|---|---|
| 配方之后 | 3[(x + 2)² − 4] + 5 | 3[(x + 2)² − 4] + 5 |
| 乘开外面的 3 | 3(x + 2)² − 4 + 5 | 3(x + 2)² − 12 + 5 |
| 结果 | 3(x + 2)² + 1 | 3(x + 2)² − 7 |
把转折点代回去就能检查。错误的形式说最小值是 1，但 g(−2) = −7。两个数不同，错误就暴露了。
自我检测
把 f(x) = 4x² − 16x + 7 写成 a(x + p)² + q 的形式，并写出最小值和它出现的位置。
答案
f(x) = 4(x² − 4x) + 7 = 4[(x − 2)² − 4] + 7 = 4(x − 2)² − 16 + 7 = 4(x − 2)² − 9。
最小值是 −9，出现在 x = 2。
核对：f(2) = 16 − 32 + 7 = −9。
接下来学什么？
知道转折点和根之后，就能描述二次式在哪里是正数，在哪里是负数。接着读用区间解二次不等式，再做练习题。
想让老师在新题上看你写括号这一步，可以看线上一对一附加数学补习。