Melengkapkan kuasa dua menulis semula kuadratik sebagai a(x + p)² + q. Titik pusingan ialah (−p, q): minimum jika a > 0 dan maksimum jika a < 0.
Pelajaran ini sebahagian daripada fungsi kuadratik. Untuk idea yang sepadan tentang punca, lihat menggunakan diskriminan untuk mengelaskan punca.
Mengapa bentuk a(x + p)² + q menunjukkan titik pusingan?
Sebutan kuasa dua tidak pernah negatif, dan ia tepat sifar apabila x + p = 0. Maka a(x + p)² + q paling kecil apabila x = −p, dengan nilai q, jika a positif.
Fakta ini memberi titik pusingan serta-merta, tanpa kalkulus atau lukisan graf.
Contoh 1: a = 1
Berikut contoh asli. Tulis f(x) = x² + 8x + 19 dalam bentuk (x + p)² + q.
- Ambil separuh pekali x: 8 ÷ 2 = 4.
- Tulis (x + 4)², yang mengembang kepada x² + 8x + 16.
- Laraskan pemalar: 19 − 16 = 3.
- Maka f(x) = (x + 4)² + 3.
Nilai minimum ialah 3, pada x = −4. Titik pusingan ialah (−4, 3). Semak: f(−4) = 16 − 32 + 19 = 3.
Contoh 2: a = 3
Tulis g(x) = 3x² + 12x + 5 dalam bentuk a(x + p)² + q.
- Keluarkan faktor 3 daripada sebutan-x sahaja: g(x) = 3(x² + 4x) + 5.
- Lengkapkan kuasa dua di dalam: x² + 4x = (x + 2)² − 4.
- Gantikan: g(x) = 3[(x + 2)² − 4] + 5.
- Kembangkan 3 di luar: g(x) = 3(x + 2)² − 12 + 5 = 3(x + 2)² − 7.
Nilai minimum ialah −7, pada x = −2. Semak: g(−2) = 3(4) − 24 + 5 = −7.
Contoh 3: a negatif
Tulis h(x) = −x² + 6x − 2 dalam bentuk a(x + p)² + q.
- Keluarkan faktor −1 daripada sebutan-x: h(x) = −(x² − 6x) − 2.
- Lengkapkan kuasa dua: x² − 6x = (x − 3)² − 9.
- Gantikan: h(x) = −[(x − 3)² − 9] − 2 = −(x − 3)² + 9 − 2.
- Maka h(x) = −(x − 3)² + 7.
Oleh sebab a negatif, graf terbuka ke bawah dan 7 ialah nilai maksimum, pada x = 3. Semak: h(3) = −9 + 18 − 2 = 7.
Kesilapan yang menghilangkan markah
Kesilapan biasa dalam contoh 2 ialah terlupa mendarab −4 dengan 3 yang dikeluarkan tadi. Kerja itu kemudian berbunyi 3(x + 2)² − 4 + 5 = 3(x + 2)² + 1.
| Langkah | Salah | Betul |
|---|---|---|
| Selepas melengkapkan kuasa dua | 3[(x + 2)² − 4] + 5 | 3[(x + 2)² − 4] + 5 |
| Mengembangkan 3 di luar | 3(x + 2)² − 4 + 5 | 3(x + 2)² − 12 + 5 |
| Hasil | 3(x + 2)² + 1 | 3(x + 2)² − 7 |
Gantikan titik pusingan untuk menyemak. Dengan bentuk yang salah, minimumnya ialah 1, tetapi g(−2) = −7. Nombor tidak sepadan, maka bentuk yang salah dikesan.
Semak sendiri
Tulis f(x) = 2x² − 8x + 11 dalam bentuk a(x + p)² + q, dan nyatakan nilai minimum serta di mana ia berlaku.
Jawapan
f(x) = 2(x² − 4x) + 11 = 2[(x − 2)² − 4] + 11 = 2(x − 2)² − 8 + 11 = 2(x − 2)² + 3.
Nilai minimum ialah 3, pada x = 2.
Semak: f(2) = 8 − 16 + 11 = 3.
Apa yang perlu dipelajari seterusnya
Mengetahui titik pusingan dan punca membolehkan anda menerangkan di mana kuadratik positif atau negatif. Teruskan dengan menyelesaikan ketaksamaan kuadratik menggunakan selang, kemudian kerjakan set latihan.
Jika anda mahu guru menyemak langkah kurungan anda pada kes baharu, lihat tuisyen Matematik Tambahan dalam talian satu lawan satu.