无穷项和的条件

公比满足 −1 < r < 1 的等比数列，项数不断增加时，总和会趋近一个固定的值。这个值是 S∞ = a ÷ (1 − r)，它只在 −1 < r < 1 时存在。

这一课属于数列，建立在等比数列的项与和之上。

为什么条件这么重要？

当 |r| < 1，每一项都比前一项小，新加上的量越来越少，总和就逼近一个极限。当 |r| ≥ 1，项没有变小，总和只会越加越大。

公式在 r = 2 时仍然能算出一个数，但那个数没有意义。所以一定要先检查条件。

例题：一个会稳定，一个不会

这是一组原创的对比。数列 A 是 15 + 5 + 5/3 + …，数列 B 是 15 + 30 + 60 + …

数列 A。 r = 5 ÷ 15 = 1/3，|1/3| < 1，所以无穷项和存在。S∞ = 15 ÷ (1 − 1/3) = 15 ÷ (2/3) = 22.5。

数列 B。 r = 30 ÷ 15 = 2，|2| ≥ 1，项越来越大，不存在无穷项和。如果写 15 ÷ (1 − 2) = −15，就错了，因为所有项都是正数。

数列 A 的前几项和是 15，20，21.67，22.22，一步步趋近 22.5。

已知总和，怎样求 r？

等比级数的 a = 12，S∞ = 48。求 r。

1. 写出 12 ÷ (1 − r) = 48。
2. 整理：1 − r = 12 ÷ 48 = 1/4。
3. 解出 r = 3/4。
4. 核对：|3/4| < 1，条件成立，而且 12 ÷ (1/4) = 48。

第 4 步确认答案满足条件。如果你解出 r = 2，就知道前面的步骤出了问题。

求 x 的范围

等比级数的首项是 6，第二项是 2x。求使无穷项和存在的 x 的范围。

公比 r = 2x ÷ 6 = x/3。条件是 −1 < x/3 < 1，所以 −3 < x < 3。

取范围内的值试一试。x = 1.5 时 r = 0.5，S∞ = 6 ÷ 0.5 = 12。总和存在，和预期一致。

最容易丢分的失误

常见的失误是没检查 r 就直接套 a ÷ (1 − r)。数列 B 算出负数，而它的项全是正数，这就是警告。

在解答里写一行条件。即使条件成立，这一行也能拿到方法分。

自我检测

等比级数的 a = 18，S∞ = 27。求 r，并写出第二项。

接下来学什么？

无穷项和会出现在应用题里，例如弹跳的球，或是重复减少的百分比。接着读把存款和增长翻译成数列，再做练习题。

想让老师给你一些容易跳过检查的数列，可以看线上一对一附加数学补习。