Apabila garis menyentuh lengkung pada satu titik, garis dan lengkung bertemu tepat sekali. Bagi lengkung kuadratik, itu bermakna menyamakan kedua-dua persamaan memberi persamaan kuadratik dengan satu punca berulang, jadi pembezalayan tentunya sifar.
Pelajaran ini tergolong dalam masalah geometri dengan beberapa pendekatan. Ia menggunakan pembezalayan tentu daripada fungsi kuadratik dan idea kecerunan daripada pembezaan.
Laluan 1: pembezalayan tentu
Ambil lengkung y = x² − 4x + 5 dan garis y = 2x + k. Garis itu menyentuh lengkung pada satu titik, jadi cari k.
- Samakan persamaan: x² − 4x + 5 = 2x + k.
- Pindahkan semuanya ke satu belah: x² − 6x + (5 − k) = 0.
- Satu titik sentuhan bermakna b² − 4ac = 0, jadi (−6)² − 4(1)(5 − k) = 0.
- Ringkaskan: 36 − 20 + 4k = 0, jadi 4k = −16 dan k = −4.
Kurungan di sekeliling 5 − k penting. Menggugurkannya ialah kesilapan paling lazim dalam soalan jenis ini.
Laluan 2: kecerunan
Kecerunan lengkung ialah dy/dx = 2x − 4. Kecerunan garis ialah 2, dan pada titik sentuhan kedua-dua kecerunan itu sama.
Tetapkan 2x − 4 = 2, jadi x = 3. Maka y = 9 − 12 + 5 = 2 pada lengkung. Garis itu melalui (3, 2), jadi 2 = 2(3) + k, yang memberi k = −4.
Kedua-dua laluan sepadan. Dalam peperiksaan, anda boleh menggunakan satu laluan untuk mengesahkan yang lain jika masa mengizinkan.
Apabila parameter ialah kecerunan
Sekarang ambil garis y = mx + 1 dan lengkung y = x² + 3x + 5. Cari nilai m supaya garis menyentuh lengkung.
Menyamakan keduanya memberi x² + 3x + 5 = mx + 1, jadi x² + (3 − m)x + 4 = 0. Pembezalayan tentunya (3 − m)² − 4(1)(4) = 0, jadi (3 − m)² = 16.
Itu bermakna 3 − m = 4 atau 3 − m = −4, jadi m = −1 atau m = 7. Kedua-duanya betul: dua garis berbeza melalui (0, 1) masing-masing menyentuh lengkung, pada x = −2 dan x = 2.
Kesilapan yang menyebabkan markah hilang
Pelajar yang bertemu “menyentuh pada satu titik” kerap menetapkan pembezalayan tentu lebih besar daripada sifar, kerana itulah syarat bagi dua titik pertemuan.
| Ayat soalan | Bilangan titik sepunya | Syarat |
|---|---|---|
| Garis memotong lengkung pada dua titik | 2 | b² − 4ac > 0 |
| Garis menyentuh lengkung | 1 | b² − 4ac = 0 |
| Garis tidak bertemu lengkung | 0 | b² − 4ac < 0 |
Baca ayat soalan dahulu, kemudian pilih syarat daripada jadual.
Semak kendiri
Garis y = x + k menyentuh lengkung y = x² − 3x + 6. Cari k, kemudian cari titik sentuhan.
Jawapan
Samakan: x² − 3x + 6 = x + k, jadi x² − 4x + (6 − k) = 0.
Pembezalayan tentu: 16 − 4(6 − k) = 0, jadi 16 − 24 + 4k = 0 dan k = 2.
Dengan k = 2, persamaannya ialah x² − 4x + 4 = 0, jadi x = 2. Maka y = 4 − 6 + 6 = 4. Semak pada garis: y = 2 + 2 = 4. Titik sentuhan ialah (2, 4).
Apa yang perlu dipelajari seterusnya?
Teruskan ke menyemak persilangan algebra terhadap sekatan geometri, kemudian cuba latihan geometri bercampur.
Jika anda mahu guru memberi soalan tangen yang baharu dan memerhatikan pilihan kaedah anda, lihat tuisyen Matematik Tambahan dalam talian satu lawan satu.