Perubahan kecil dalam x menyebabkan perubahan kecil dalam y sebanyak kira-kira kecerunan didarab perubahan itu. Dalam bentuk rumus: δy ≈ (dy/dx) × δx, dengan δ bermaksud perubahan kecil.
Pelajaran ini sebahagian daripada bab pembezaan Matematik Tambahan SPM. Ia menggunakan petua daripada pembezaan kuasa, hasil darab dan hasil bahagi.
Mengapa kaedah ini berfungsi?
Pada jarak yang sangat pendek, lengkung licin kelihatan hampir sama dengan tangennya. Kecerunan tangen ialah dy/dx, jadi bergerak sejauh δx di sepanjang lengkung mengubah y sebanyak kira-kira (dy/dx) × δx.
Semakin kecil δx, semakin baik anggarannya.
Contoh 1: perubahan dalam y
Bagi y = x², cari perubahan hampir dalam y apabila x bertambah daripada 5 kepada 5.02.
dy/dx = 2x = 10 pada x = 5. Di sini δx = 0.02.
δy ≈ 10 × 0.02 = 0.2. Secara tepat, 5.02² − 25 = 25.2004 − 25 = 0.2004, maka anggarannya sangat hampir.
Contoh 2: menghampiri punca kuasa dua
Gunakan pembezaan untuk menghampiri √16.3.
Biar y = √x = x^(1/2), maka dy/dx = 1 ÷ (2√x). Pilih x = 16 kerana √16 = 4 tepat, dan δx = 0.3.
Pada x = 16: dy/dx = 1 ÷ 8. Maka δy ≈ (1/8)(0.3) = 0.0375.
Jadi √16.3 ≈ 4 + 0.0375 = 4.0375. Kalkulator memberi 4.03733, maka penghampiran itu sangat hampir dengan nilai tepat.
Contoh 3: luas
Jejari sebuah bulatan ialah 10 cm dan bertambah 0.2 cm. Cari pertambahan hampir luas.
A = πr², maka dA/dr = 2πr = 20π pada r = 10. Dengan δr = 0.2, δA ≈ 20π × 0.2 = 4π cm², iaitu kira-kira 12.57 cm².
Kesilapan yang menghilangkan markah
Kesilapan lazim ialah bermula dengan x yang salah, atau menggunakan kalkulator untuk nombor akhir.
| Langkah | Salah | Betul |
|---|---|---|
| Nilai permulaan untuk √16.3 | x = 16.3 | x = 16 dan δx = 0.3 |
| Jawapan akhir | Kalkulator √16.3 = 4.0373 | 4 + 0.0375 = 4.0375, dengan pengiraan ditunjukkan |
Sentiasa pilih nilai terdekat yang menjadikan punca atau kuasa itu tepat, kemudian nyatakan nilai δx.
Semak kendiri
Gunakan pembezaan untuk menghampiri punca kuasa tiga bagi 27.3.
Jawapan
Biar y = x^(1/3), maka dy/dx = (1/3)x^(−2/3). Pada x = 27: x^(−2/3) = 1/9, maka dy/dx = 1/27.
Dengan δx = 0.3: δy ≈ 0.3 ÷ 27 = 0.0111.
Punca kuasa tiga bagi 27.3 ialah kira-kira 3 + 0.0111 = 3.0111.
Apa langkah seterusnya?
Uji keseluruhan bab dengan set latihan pembezaan. Jika idea pengoptimuman dan kadar berkaitan perlu diulang, kembali ke pengoptimuman dan kadar perubahan.
Jika anda mahu seorang guru menyemak pilihan nilai permulaan anda pada punca baharu, lihat tuisyen Matematik Tambahan dalam talian satu lawan satu.