Untuk menyelesaikan persamaan kuadratik dengan pemfaktoran, jadikan satu sebelah sifar, faktorkan sebelah lagi, kemudian samakan setiap faktor dengan sifar. Setiap faktor memberi satu punca.
Pelajaran ini menyambung mengenal kuadratik daripada kuasa tertingginya dan merupakan sebahagian daripada fungsi dan persamaan kuadratik SPM Matematik.
Apa tiga langkahnya?
- Susun semula supaya satu sebelah ialah 0, dalam bentuk ax² + bx + c = 0.
- Faktorkan ungkapan kuadratik itu.
- Samakan setiap kurungan dengan 0 dan selesaikan.
Logiknya bersandar pada satu fakta: jika A × B = 0, maka A = 0 atau B = 0. Itulah sebab langkah 1 tidak boleh dipilih-pilih.
Contoh penyelesaian: kes mudah
Selesaikan x² − 9x + 20 = 0. Cari dua nombor yang hasil darabnya 20 dan hasil tambahnya −9. Nombor itu ialah −4 dan −5.
(x − 4)(x − 5) = 0, maka x − 4 = 0 atau x − 5 = 0. Puncanya ialah x = 4 dan x = 5.
Semak dalam persamaan asal: 4² − 9(4) + 20 = 16 − 36 + 20 = 0, dan 5² − 9(5) + 20 = 25 − 45 + 20 = 0.
Contoh penyelesaian: nombor di kedua-dua belah
Selesaikan x² + 4x = 21. Jangan faktorkan sebelah kiri dahulu. Tolak 21 daripada kedua-dua belah: x² + 4x − 21 = 0.
Cari dua nombor yang hasil darabnya −21 dan hasil tambahnya 4. Nombor itu ialah 7 dan −3. Maka (x + 7)(x − 3) = 0, dan x = −7 atau x = 3.
Semak: 3² + 4(3) = 9 + 12 = 21, dan (−7)² + 4(−7) = 49 − 28 = 21.
Dua kesilapan yang menyebabkan markah hilang
Kesilapan 1: memfaktor tanpa sifar. Pelajar menulis x(x + 4) = 21 lalu berkata x = 21 atau x + 4 = 21, yang memberi x = 21 atau 17. Uji x = 21: 21 × 25 = 525, bukan 21, maka jawapan itu gagal.
Kesilapan 2: membahagi dengan x. Bagi 5x² = 20x, membahagi dengan x memberi 5x = 20 dan x = 4. Punca x = 0 telah hilang.
| Persamaan | Kaedah salah | Kaedah betul |
|---|---|---|
| x² + 4x = 21 | x(x + 4) = 21, maka x = 21 | x² + 4x − 21 = 0, maka x = 3 atau −7 |
| 5x² = 20x | Bahagi dengan x, maka x = 4 | 5x² − 20x = 0, maka 5x(x − 4) = 0, punca 0 dan 4 |
Apabila pekali x² bukan 1
Selesaikan 3x² + 10x − 8 = 0. Darabkan a dengan c untuk mendapat 3 × (−8) = −24.
Cari dua nombor yang hasil darabnya −24 dan hasil tambahnya 10. Nombor itu ialah 12 dan −2.
Pecahkan sebutan tengah: 3x² + 12x − 2x − 8 = 0. Kumpulkan: 3x(x + 4) − 2(x + 4) = 0, maka (3x − 2)(x + 4) = 0.
Puncanya ialah x = ⅔ dan x = −4. Semak x = −4: 3(16) − 40 − 8 = 48 − 40 − 8 = 0.
Semak sendiri
Selesaikan (a) 4x² = 20x dan (b) x² − 2x = 24.
Jawapan
(a) 4x² − 20x = 0, maka 4x(x − 5) = 0. Puncanya ialah x = 0 dan x = 5.
(b) x² − 2x − 24 = 0. Nombor −6 dan 4 mempunyai hasil darab −24 dan hasil tambah −2, maka (x − 6)(x + 4) = 0.
Puncanya ialah x = 6 dan x = −4. Semak x = 6: 36 − 12 = 24.
Apa yang dipelajari seterusnya
Punca yang anda temui ialah nilai x di mana graf fungsi menyentuh paksi-x. Teruskan dengan mencari punca daripada graf kuadratik, atau uji diri pada set latihan kuadratik.
Jika pemfaktoran rosak apabila susunan berubah, tuisyen Matematik dalam talian satu lawan satu membolehkan seorang guru membinanya semula bersama anda langkah demi langkah.