Titik pusingan kuadratik ialah titik tertinggi atau terendahnya. Dalam soalan berayat, nilai-y ialah hasil terbaik atau terburuk, dan nilai-x ialah keadaan yang memberikannya.
Pelajaran ini sebahagian daripada fungsi dan persamaan kuadratik SPM Matematik. Ia bersandar pada mencari punca daripada graf kuadratik, kerana titik pusingan berada di tengah antara dua punca.
Contoh penyelesaian 1: reban ayam bersandar pada dinding
Ini masalah asli. Seorang penternak memagar reban segi empat tepat dengan 40 m pagar pada tiga sisi, dan sisi keempat ialah dinding yang sedia ada. Lebar reban ialah x meter.
Panjang reban ialah (40 − 2x) meter, kerana dua lebar menggunakan 2x daripada pagar. Luasnya ialah L = x(40 − 2x) = 40x − 2x².
Cari titik pusingan. Luas ialah sifar apabila x = 0 atau x = 20, maka puncanya 0 dan 20. Titik pusingan mempunyai x = (0 + 20) ÷ 2 = 10.
Gantikan: L = 10(40 − 20) = 10 × 20 = 200. Oleh kerana pekali x² ialah −2, graf berbentuk ∩ dan ini ialah maksimum.
Tulis jawapan. Luas maksimum ialah 200 m², apabila lebar 10 m dan panjang 20 m. Panjang reban dua kali lebarnya untuk luas terbesar.
Contoh penyelesaian 2: kos seunit
Sebuah bengkel memodelkan kos seunit sebagai K = x² − 12x + 50, dalam RM, dengan x ialah bilangan ratus unit yang dibuat dalam satu kelompok. Pekali x² positif, maka graf berbentuk ∪ dan titik pusingan ialah minimum.
Persamaan ini tidak difaktorkan kepada nombor bulat, maka gunakan paksi simetri. Bagi ax² + bx + c, paksinya ialah x = −b ÷ 2a, di sini x = 12 ÷ 2 = 6.
Gantikan: K = 36 − 72 + 50 = 14. Kos minimum ialah RM14 seunit, apabila 600 unit (x = 6 ratus) dibuat.
Kesilapan yang menyebabkan markah hilang
Kesilapan biasa ialah memberi koordinat yang salah. Apabila diminta luas maksimum, pelajar menjawab “10” kerana itulah nilai-x yang ditemui dahulu. Luas maksimum ialah nilai-y, iaitu 200.
Kesilapan kedua ialah meninggalkan unit dan konteks. “Minimum = 14” mendapat markah lebih rendah daripada “kos minimum ialah RM14 seunit”.
| Soalan meminta | Guna | Jawapan contoh 1 |
|---|---|---|
| Nilai maksimum atau minimum | Nilai-y titik pusingan | 200 m² |
| Nilai x yang memberikannya | Nilai-x titik pusingan | 10 m |
| Bentuk graf | Tanda pekali x² | ∩ maka maksimum |
Templat ayat yang berkesan
Tulis: “[Kuantiti] [maksimum atau minimum] ialah [nilai dan unit] apabila [maksud pemboleh ubah] ialah [nilai dan unit].” Isi daripada perkataan masalah itu sendiri.
Bagi contoh 2: “Kos seunit minimum ialah RM14 apabila 600 unit dibuat.” Ayat itu menunjukkan anda mempunyai kedua-dua koordinat dan tahu maksud setiap satu.
Semak sendiri
Ketinggian sebiji bola ialah h = 8t − 2t², dengan h dalam meter dan t dalam saat. Cari ketinggian maksimum dan bila ia berlaku. Tulis jawapan anda sebagai satu ayat.
Jawapan
Ketinggian ialah sifar apabila 2t(4 − t) = 0, iaitu pada t = 0 dan t = 4. Titik pusingan mempunyai t = (0 + 4) ÷ 2 = 2.
h = 8(2) − 2(2)² = 16 − 8 = 8.
Pekali t² ialah −2, maka ini ialah maksimum. Ketinggian maksimum ialah 8 m, dicapai selepas 2 saat.
Apa yang dipelajari seterusnya
Latih memilih antara punca, titik pusingan dan pintasan dalam set latihan kuadratik. Penjelajah graf dan punca kuadratik (Bahasa Inggeris) membolehkan anda mengubah nombor dan melihat titik pusingan bergerak.
Dalam tuisyen Matematik dalam talian satu lawan satu, seorang guru boleh menyemak ayat jawapan masalah berayat anda.