Contoh penyangkal ialah satu kes yang mematuhi syarat sesuatu kenyataan tetapi menghasilkan keputusan bertentangan. Satu contoh penyangkal sudah cukup untuk menolak kenyataan “semua” atau “untuk setiap”, manakala seratus contoh yang berjaya tidak cukup untuk membuktikannya.
Pelajaran ini ialah sebahagian daripada bab penaakulan logik. Ia menggunakan idea negasi, jadi semak negasi pernyataan dengan pengkuantiti jika anda belum selesa dengannya.
Bagaimana mencari contoh penyangkal?
Ikut tiga langkah. Pertama, tulis syarat kenyataan itu. Kedua, pilih nilai yang memenuhi syarat tetapi mungkin melanggar keputusan. Ketiga, kira dan tunjukkan bahawa keputusan itu tidak berlaku.
Kenyataan: “Untuk semua nombor nyata x, x² > x.”
Cuba x = 1. Syaratnya dipenuhi kerana 1 ialah nombor nyata. Tetapi x² = 1 dan x = 1, jadi 1 > 1 palsu. Nilai x = 0.5 juga berfungsi, kerana x² = 0.25 dan 0.25 < 0.5.
Jawapan lengkap menulis nilai x, mengira kedua-dua belah, dan menyatakan “maka kenyataan itu palsu”.
Menguji argumen deduktif dengan menukar kandungan
Argumen deduktif SPM mempunyai Premis 1, Premis 2 dan Kesimpulan. Untuk menguji sama ada ia sah, kekalkan bentuknya dan gantikan fakta dengan contoh yang anda tahu benar atau palsu.
Argumen asal: Semua gandaan 6 boleh dibahagi dengan 3. 15 boleh dibahagi dengan 3. Maka 15 ialah gandaan 6.
Tukar “15” kepada “9”. Premis 1 masih benar, Premis 2 masih benar (9 boleh dibahagi dengan 3), tetapi kesimpulan “9 ialah gandaan 6” palsu. Oleh kerana bentuk yang sama menghasilkan kesimpulan palsu daripada premis benar, bentuk itu tidak sah. Nombor 15 dan 9 kedua-duanya bukan gandaan 6.
Kesilapan yang perlu dielakkan
Kesilapan pertama: menganggap “tiada contoh penyangkal di sini” bermakna kenyataan itu benar. Pelajar mencuba x = 2, x = 3 dan x = 4 dalam kenyataan x² > x, semuanya berjaya, lalu menulis “kenyataan ini benar”. Tiga kes yang berjaya tidak membuktikan apa-apa.
Kesilapan kedua: memilih nilai yang tidak memenuhi syarat. Untuk kenyataan “semua nombor perdana ialah ganjil”, nombor 9 bukan contoh penyangkal kerana 9 bukan perdana. Contoh penyangkal yang sah ialah 2, kerana 2 ialah perdana tetapi genap.
| Kenyataan | Pilihan lemah | Contoh penyangkal sah |
|---|---|---|
| Semua nombor perdana ialah ganjil | 9 (bukan perdana) | 2 (perdana dan genap) |
| Jika n ganjil, maka n ialah perdana | 7 (kebetulan perdana) | 9 (ganjil, tetapi 9 = 3 × 3) |
| Untuk semua x, x² > x | x = 4 (berjaya) | x = 1 atau x = 0.5 |
Semak sendiri
Kenyataan: “Jika n ialah integer positif, maka n² + n + 11 ialah nombor perdana.” Uji n = 1, 2, 3, lalu cari contoh penyangkal jika ada.
Jawapan
Untuk n = 1: 1 + 1 + 11 = 13 (perdana). Untuk n = 2: 4 + 2 + 11 = 17 (perdana). Untuk n = 3: 9 + 3 + 11 = 23 (perdana).
Tiga kes ini berjaya, tetapi itu belum membuktikan kenyataan. Cuba n = 10: 100 + 10 + 11 = 121 = 11 × 11, bukan perdana. Maka n = 10 ialah contoh penyangkal dan kenyataan itu palsu.
Pelajaran daripada soalan ini: apabila tiga nilai pertama berjaya, teruskan mencuba nilai yang lebih bermakna, seperti gandaan 10 atau nilai yang menjadikan ungkapan mempunyai faktor sepunya.
Langkah seterusnya
Selepas ini, pelajari menulis implikasi dan akas kerana akas yang dianggap benar tanpa ujian ialah punca argumen tidak sah. Kemudian cuba latihan penaakulan logik.
Jika anda mahu guru memeriksa cara anda menulis penolakan kenyataan, lihat tuisyen Matematik dalam talian satu lawan satu.