Satu contoh yang memenuhi syarat dakwaan tetapi gagal pada bahagian ‘maka’ cukup untuk menyangkal dakwaan “semua”. Pilih nilai khas, bukan nombor rawak, supaya contoh itu cepat ditemui.
Pelajaran ini sebahagian daripada membuktikan atau menyangkal dakwaan matematik harian, dalam penaakulan logik.
Bagaimana memilih nilai yang patut diuji?
- Garis bawahi “semua” dan nyatakan syarat serta kesimpulan dakwaan.
- Uji nilai khas dahulu: 0, 1, 2, nombor negatif dan pecahan antara 0 dan 1.
- Cari nilai yang menghasilkan faktor sepunya dalam ungkapan.
- Semak bahawa contoh memenuhi syarat, kemudian semak bahawa ia gagal kesimpulan.
Langkah 4 penting kerana contoh yang tidak memenuhi syarat tidak menyangkal apa-apa.
Contoh 1: n² > 2n
Dakwaan: bagi semua integer positif n, n² > 2n. Cuba n = 1: 1² = 1 dan 2(1) = 2, tetapi 1 > 2 palsu. Satu contoh ini sudah menyangkal dakwaan.
Untuk berhati-hati, cuba juga n = 2: 4 > 4 palsu, dan n = 3: 9 > 6 benar. Dakwaan seperti ini patah pada nilai kecil.
Contoh 2: n² + n + 11
Dakwaan: bagi semua integer n, n² + n + 11 ialah nombor perdana. Nilai n = 0 hingga 9 menghasilkan 11, 13, 17, 23, 31, 41, 53, 67, 83 dan 101, semuanya perdana.
Daripada terus menyemak, tanya: nilai n mana menjadikan ketiga-tiga sebutan berkongsi satu faktor? Jika n = 11, maka n² + n + 11 = 11(11 + 1 + 1) = 11 × 13 = 143. Nombor 143 mempunyai faktor 11 dan 13, maka bukan perdana.
Satu nilai yang dipilih dengan berfikir menewaskan sepuluh semakan yang berjaya.
Kesilapan yang menyebabkan markah hilang
Dakwaan: semua nombor ganjil ialah nombor perdana. Pelajar menulis contoh penyangkal “4 bukan perdana”. Contoh itu tidak sah kerana 4 bukan nombor ganjil, maka ia tidak memenuhi syarat dakwaan.
Contoh yang sah ialah 9: ia ganjil, tetapi 9 = 3 × 3 bukan nombor perdana. Sebelum menulis contoh, sebut dua ayat dengan kuat: “9 ialah ganjil” dan “9 bukan perdana”.
Kesilapan kedua ialah menyimpulkan dakwaan benar selepas beberapa contoh berjaya. Contoh yang berjaya tidak membuktikan dakwaan “semua” benar.
Soalan semak kendiri
Dakwaan: bagi semua nombor nyata x, x² ≥ x. Cari satu contoh penyangkal.
Jawapan
Cuba pecahan antara 0 dan 1, contohnya x = 0.5. Maka x² = 0.25, dan 0.25 ≥ 0.5 palsu. Nombor 0.5 ialah nombor nyata, maka ia memenuhi syarat dakwaan, tetapi gagal kesimpulan.
Dakwaan itu palsu. Nilai x = 1 dan x = 0 tidak menyangkalnya kerana x² = x pada kedua-duanya.
Seterusnya, belajar menulis implikasi dalam membina implikasi daripada sepasang hubungan set. Jika langkah algebra masih menyusahkan anda, latih dengan pelatih pembaikan langkah algebra (Bahasa Inggeris).
Jika anda mahu diuji dengan dakwaan baharu, tuisyen Matematik SPM satu lawan satu membolehkan guru menulis dakwaan baharu dan menyemak contoh anda secara lisan. Anda juga boleh merekod kesilapan dalam log kesilapan dan semakan ralat kertas.