Apabila dua garis bersilang di titik P, tulis OP dua kali, satu melalui setiap garis, dengan skalar berasingan. Samakan pekali vektor asas untuk mendapat dua persamaan.
Pelajaran ini sebahagian daripada topik kebergantungan vektor dan penaakulan nisbah. Ia menggunakan laluan dalam nisbah vektor geometri.
Bagaimana saya menyusun kaedah dua laluan?
- Tulis vektor yang diketahui: OA = a, OB = b, dan titik lain dalam a dan b.
- Laluan 1: OP = OA + λ AN, dengan λ ialah pecahan bagi AN.
- Laluan 2: OP = OB + μ BM, dengan μ ialah pecahan bagi BM.
- Samakan pekali a dan pekali b, dan selesaikan untuk λ dan μ.
Contoh: dua garis dalam segi tiga OAB
OA = a dan OB = b. M ialah titik tengah OA, dan N terletak pada OB dengan ON = 2/3 b. Garis AN dan BM bersilang di P. Cari OP.
Vektor yang perlu: AN = ON − OA = 2/3 b − a, dan BM = OM − OB = 1/2 a − b.
Laluan 1. OP = OA + λ AN = a + λ(2/3 b − a) = (1 − λ)a + (2λ/3) b.
Laluan 2. OP = OB + μ BM = b + μ(1/2 a − b) = (μ/2) a + (1 − μ) b.
Samakan pekali a: 1 − λ = μ/2. Samakan pekali b: 2λ/3 = 1 − μ.
Daripada persamaan pertama, μ = 2 − 2λ. Gantikan ke dalam yang kedua: 2λ/3 = 1 − (2 − 2λ) = 2λ − 1. Maka 1 = 2λ − 2λ/3 = 4λ/3, jadi λ = 3/4.
Maka μ = 2 − 3/2 = 1/2. Gantikan λ = 3/4: OP = (1/4) a + (1/2) b.
Semak dengan μ = 1/2 dalam Laluan 2: pekali a = 1/4 dan pekali b = 1/2. Sama. OP = 1/4 a + 1/2 b.
Semak dengan koordinat
Pilih a = (6, 0) dan b = (0, 6). Maka A = (6, 0), M = (3, 0), B = (0, 6) dan N = (0, 4).
OP = 1/4 (6, 0) + 1/2 (0, 6) = (1.5, 3). Titik tengah BM ialah ((0 + 3) ÷ 2, (6 + 0) ÷ 2) = (1.5, 3), sepadan dengan μ = 1/2.
Pada garis AN: A + 3/4 (N − A) = (6, 0) + 3/4 (−6, 4) = (1.5, 3). Kedua-dua laluan memberi titik yang sama.
Kesilapan yang paling kerap
Kesilapan paling kerap ialah menggunakan satu skalar untuk kedua-dua garis, contohnya λ untuk AN dan λ untuk BM. Itu hanya betul jika P berada pada kedudukan yang sama pecahan pada kedua-dua garis, yang jarang berlaku.
| Langkah | Salah | Betul |
|---|---|---|
| Laluan 2 | OP = OB + λ BM | OP = OB + μ BM |
| Samakan | hanya satu persamaan | dua persamaan, pekali a dan b |
Kesilapan kedua ialah lupa mengembangkan: (1 − λ)a dan bukan a − λ. Kumpulkan sebutan a dan sebutan b sebelum menyamakan.
Semak sendiri
Dalam segi tiga OAB, OA = a dan OB = b. N ialah titik tengah OB, dan M terletak pada OA dengan OM = 2/3 a. AN dan BM bersilang di P. Cari OP.
Jawapan
AN = 1/2 b − a. OP = a + λ(1/2 b − a) = (1 − λ)a + (λ/2) b.
BM = 2/3 a − b. OP = b + μ(2/3 a − b) = (2μ/3) a + (1 − μ) b.
Samakan: 1 − λ = 2μ/3 dan λ/2 = 1 − μ. Daripada persamaan kedua, λ = 2 − 2μ. Maka 1 − 2 + 2μ = 2μ/3, jadi −1 = −4μ/3 dan μ = 3/4.
Maka λ = 1/2. OP = 1/2 a + 1/4 b. Semak pada Laluan 2: 2(3/4)/3 = 1/2 dan 1 − 3/4 = 1/4.
Apa yang perlu dipelajari seterusnya?
Teruskan dengan menyemak tanda nisbah pembahagian luar, kemudian uji dalam set latihan bersepadu.
Jika anda mahu guru menyemak penyusunan dua laluan anda, lihat tuisyen Matematik Tambahan dalam talian satu lawan satu.