Luas antara dua lengkung ialah kamiran lengkung atas tolak lengkung bawah, yang diambil antara nilai x di tempat kedua-duanya bertemu. Cari titik persilangan, tentukan lengkung yang di atas, kemudian kamirkan perbezaannya.
Pelajaran ini sebahagian daripada bab pengamiran Matematik Tambahan SPM. Ia memanjangkan mencari luas antara lengkung dengan paksi.
Contoh penyelesaian: garis dan parabola
Cari luas yang dibatasi oleh y = x² dan y = 2x + 3.
Langkah 1: titik persilangan. Samakan x² = 2x + 3, maka x² − 2x − 3 = 0, yang boleh difaktorkan sebagai (x − 3)(x + 1) = 0. Hadnya ialah x = −1 dan x = 3.
Langkah 2: yang mana di atas. Uji x = 0. Garis memberi y = 3 dan parabola memberi y = 0, maka garis berada di atas.
Langkah 3: kamirkan atas tolak bawah.
Luas = ∫ (2x + 3 − x²) dx dari −1 ke 3 = [x² + 3x − x³/3] dari −1 ke 3.
Pada x = 3: 9 + 9 − 9 = 9. Pada x = −1: 1 − 3 + 1/3 = −5/3.
Luas = 9 − (−5/3) = 9 + 5/3 = 32/3 unit persegi.
Kesilapan yang menyebabkan kehilangan markah
Silap yang biasa ialah menolak dengan urutan terbalik, atau mengambil had daripada paksi dan bukan daripada persilangan. Di sini, ∫ (x² − (2x + 3)) dx dari −1 ke 3 memberi −32/3, iaitu negatif dan tidak mungkin luas.
Satu lagi silap ialah mengamir dari 0 ke 3 dengan alasan “luas bermula dari 0”.
| Langkah | Salah | Betul |
|---|---|---|
| Had | 0 dan 3 | −1 dan 3, daripada x² = 2x + 3 |
| Fungsi dikamirkan | x² − (2x + 3) | (2x + 3) − x² |
| Hasil | −32/3 atau luas tidak lengkap | 32/3 |
Cuba satu nilai x di antara dua had sebelum mengamir, supaya anda tahu lengkung mana yang di atas.
Apabila satu lengkung jatuh di bawah paksi
Petua atas tolak bawah tetap sah, kerana menolak nombor negatif menambah nilainya. Anda tidak perlu memecahkan kamiran di paksi-x, kecuali lengkung atas dan bawah bertukar tempat dalam selang itu.
Jika kedua-dua lengkung bersilang antara dua had, pecahkan di persilangan itu, kerana lengkung atas berubah di situ.
Kaedah yang boleh digunakan semula
- Lakar kedua-dua lengkung, atau sekurang-kurangnya titik persilangan.
- Selesaikan dua persamaan secara serentak untuk mendapatkan had.
- Gunakan nilai ujian untuk menentukan lengkung atas.
- Kamirkan atas tolak bawah antara had.
- Pastikan jawapan positif dan tulis unit.
Anda boleh melihat rantau dan fungsi yang dikamirkan dalam penjelajah pengamiran polinomial dan luas (Bahasa Inggeris).
Semak kefahaman anda
Cari luas yang dibatasi oleh y = x² dan y = x + 2.
Jawapan
Samakan x² = x + 2, maka x² − x − 2 = 0 dan (x − 2)(x + 1) = 0. Hadnya ialah x = −1 dan x = 2.
Pada x = 0, garis memberi 2 dan parabola memberi 0, maka garis berada di atas.
Luas = [x²/2 + 2x − x³/3] dari −1 ke 2. Pada x = 2: 2 + 4 − 8/3 = 10/3. Pada x = −1: 1/2 − 2 + 1/3 = −7/6.
Luas = 10/3 + 7/6 = 20/6 + 7/6 = 27/6 = 9/2 unit persegi.
Langkah seterusnya
Rantau yang sama boleh diputarkan untuk membentuk pepejal. Teruskan dengan mengira isi padu janaan dalam skop sukatan, kemudian cuba set latihan pengamiran.
Jika soalan dua lengkung masih menyukarkan anda, guru boleh melakar rantau bersama anda dalam tuisyen Matematik Tambahan dalam talian secara satu lawan satu. Log kesilapan pula membantu anda mengesan langkah yang kerap tersilap.