Persamaan serentak dengan dua pemboleh ubah boleh ditulis sebagai AX = B. Kemudian X = A⁻¹B, dengan songsang A didarab dari sebelah kiri.
Pelajaran ini menggunakan songsang matriks 2 × 2 dan pendaraban matriks. Ia melengkapkan bab Matriks.
Bagaimana menukar persamaan kepada bentuk matriks?
Contoh rekaan: 2 pen dan 1 buku nota berharga RM7. 3 pen dan 2 buku nota berharga RM12. Biar x ialah harga sebatang pen dan y ialah harga sebuah buku nota.
Persamaan: 2x + y = 7 dan 3x + 2y = 12.
| 2 1 | | x | = | 7 |
| 3 2 | | y | | 12 |Di sini A ialah matriks pekali, X ialah lajur (x, y) dan B ialah lajur (7, 12).
Menyelesaikan dengan songsang
Langkah 1: penentu A = 2 × 2 − 1 × 3 = 4 − 3 = 1. Songsang A dengan baris pertama (2, −1) dan baris kedua (−3, 2).
Langkah 2: X = A⁻¹B.
| x | | 2 -1 | | 7 | | 2×7 + (-1)×12 | | 14 - 12 | | 2 |
| y | = | -3 2 | | 12 | = | -3×7 + 2×12 | = | -21 + 24 | = | 3 |Maka x = 2 dan y = 3: sebatang pen berharga RM2 dan sebuah buku nota berharga RM3.
Langkah 3: semak. 2(2) + 3 = 7. 3(2) + 2(3) = 6 + 6 = 12. Kedua-dua persamaan benar.
Kesilapan yang perlu dielakkan
Kesilapan paling biasa ialah mendarab songsang dari sebelah kanan: BA⁻¹. Dalam contoh ini, B ialah lajur 2 × 1 dan A⁻¹ ialah 2 × 2, jadi BA⁻¹ tidak wujud kerana lajur B (1) tidak sama dengan baris A⁻¹ (2).
Sebab urutan ialah: daripada AX = B, darab kedua-dua belah dengan A⁻¹ di kiri, A⁻¹AX = A⁻¹B. Oleh kerana A⁻¹A = I, kita dapat X = A⁻¹B.
Kesilapan kedua ialah lupa pembahagian dengan penentu apabila penentu bukan 1. Contohnya, jika penentu ialah 2, setiap unsur songsang mesti didarab dengan satu perdua.
| Langkah | Salah | Betul |
|---|---|---|
| Urutan | X = BA⁻¹ | X = A⁻¹B |
| Penentu | Abaikan 1/penentu | Darab songsang dengan 1/penentu |
Semak sendiri
Selesaikan 5x + 2y = 16 dan 7x + 3y = 23 menggunakan matriks.
Jawapan
A dengan baris pertama (5, 2) dan baris kedua (7, 3). Penentu = 15 − 14 = 1. Songsang A dengan baris pertama (3, −2) dan baris kedua (−7, 5).
x = 3 × 16 + (−2) × 23 = 48 − 46 = 2.
y = (−7) × 16 + 5 × 23 = −112 + 115 = 3.
Semak: 5(2) + 2(3) = 16. 7(2) + 3(3) = 14 + 9 = 23. Kedua-duanya benar.
Langkah seterusnya
Uji keseluruhan bab dalam soalan latihan matriks. Berlatih langkah demi langkah dengan tutor operasi matriks dua kali dua (Bahasa Inggeris).
Jika anda mahu guru menyemak kerja anda, lihat tuisyen Matematik dalam talian satu lawan satu.