Bagi ax² + bx + c = 0 dengan punca α dan β, hasil tambah punca ialah −b/a dan hasil darab punca ialah c/a. Dua rumus ini membolehkan anda menjawab soalan tentang punca tanpa menyelesaikan persamaan.
Pelajaran ini sebahagian daripada fungsi kuadratik. Di sebelahnya, menggunakan diskriminan untuk mengelaskan punca memberitahu anda bilangan punca.
Dari mana rumus itu datang?
Jika α dan β ialah punca, maka x² + (b/a)x + c/a = (x − α)(x − β) = x² − (α + β)x + αβ. Membandingkan pekali memberi α + β = −b/a dan αβ = c/a.
Ingat asal rumus ini. Ia membolehkan anda membina semula rumus jika terlupa tanda.
Contoh berlangkah: hasil tambah dan hasil darab
Berikut contoh rekaan. Persamaan 2x² − 9x + 4 = 0 mempunyai punca α dan β. Cari α + β dan αβ.
Di sini a = 2, b = −9, c = 4.
α + β = −b/a = −(−9)/2 = 9/2.
αβ = c/a = 4/2 = 2.
Semak dengan menyelesaikan: 2x² − 9x + 4 = (2x − 1)(x − 4), maka puncanya ialah 1/2 dan 4. Hasil tambahnya 9/2 dan hasil darabnya 2. Kedua-duanya sepadan.
Mencari nilai yang tidak diketahui daripada hubungan antara punca
Andaikan satu punca bagi x² − 12x + k = 0 ialah tiga kali ganda punca yang satu lagi. Cari k.
- Biar puncanya α dan 3α.
- Hasil tambah: α + 3α = 12, maka 4α = 12 dan α = 3.
- Puncanya ialah 3 dan 9.
- Hasil darab: k = 3 × 9 = 27.
Semak: x² − 12x + 27 = (x − 3)(x − 9). Puncanya 3 dan 9, dan 9 ialah tiga kali 3.
Membentuk persamaan baharu
Kadangkala soalan meminta persamaan yang puncanya berkaitan dengan punca persamaan lain. Biar α dan β ialah punca bagi x² − 8x + 12 = 0. Bentukkan persamaan dengan punca α + 2 dan β + 2.
- Daripada persamaan asal: α + β = 8 dan αβ = 12.
- Hasil tambah baharu: (α + 2) + (β + 2) = 8 + 4 = 12.
- Hasil darab baharu: (α + 2)(β + 2) = αβ + 2(α + β) + 4 = 12 + 16 + 4 = 32.
- Persamaan: x² − 12x + 32 = 0.
Semak dengan menyelesaikan persamaan asal. Puncanya 2 dan 6, maka punca baharu ialah 4 dan 8. Hasil tambahnya 12 dan hasil darabnya 32. Ia sepadan.
Kesilapan yang menghilangkan markah
Kesilapan biasa ialah terlupa tanda tolak di hadapan hasil tambah. Ada pelajar yang menulis x² + 12x + 32 = 0, yang mempunyai punca −4 dan −8, bukan 4 dan 8.
| Langkah | Salah | Betul |
|---|---|---|
| Bentuk | x² + (hasil tambah)x + (hasil darab) | x² − (hasil tambah)x + (hasil darab) |
| Persamaan | x² + 12x + 32 = 0 | x² − 12x + 32 = 0 |
| Punca | −4 dan −8 | 4 dan 8 |
Semakannya pantas. Gantikan satu punca yang dimaksudkan, seperti x = 4. Dalam persamaan yang salah, 16 + 48 + 32 bukan sifar. Dalam persamaan yang betul, 16 − 48 + 32 ialah sifar.
Semak sendiri
Punca bagi 4x² − 12x + 5 = 0 ialah α dan β. Cari α + β, αβ, dan persamaan dengan punca 3α dan 3β.
Jawapan
Di sini a = 4, b = −12, c = 5.
α + β = 12/4 = 3, dan αβ = 5/4.
Bagi punca 3α dan 3β: hasil tambah = 3(α + β) = 9, dan hasil darab = 9αβ = 45/4.
Persamaan: x² − 9x + 45/4 = 0, atau 4x² − 36x + 45 = 0.
Semak: 4x² − 12x + 5 = (2x − 1)(2x − 5), punca 1/2 dan 5/2. Darab 3 memberi 3/2 dan 15/2, dengan hasil tambah 9 dan hasil darab 45/4.
Apa yang perlu dipelajari seterusnya
Hasil tambah dan hasil darab punca ialah satu alat. Alat seterusnya ialah mengetahui bilangan punca tanpa menyelesaikan persamaan. Teruskan dengan menggunakan diskriminan untuk mengelaskan punca, kemudian cuba set latihan.
Jika anda mahu guru melatih anda mengesan bila hasil tambah dan hasil darab ialah jalan pantas, lihat tuisyen Matematik Tambahan dalam talian satu lawan satu.