Diskriminan b² − 4ac memberitahu berapa punca nyata yang ada pada sesuatu kuadratik. Positif memberi dua punca berbeza, sifar memberi satu punca berulang, dan negatif tidak memberi punca.
Pelajaran ini sebahagian daripada fungsi kuadratik. Ia mengikuti hubungan punca dengan pekali.
Bagaimana rupa ketiga-tiga kes itu?
| b² − 4ac | Punca | Graf |
|---|---|---|
| Lebih besar daripada 0 | Dua punca nyata berbeza | Memotong paksi-x dua kali |
| Sama dengan 0 | Dua punca sama | Menyentuh paksi-x sekali |
| Kurang daripada 0 | Tiada punca nyata | Tidak bertemu paksi-x |
Diskriminan ialah bahagian di bawah tanda punca kuasa dua dalam rumus kuadratik. Apabila ia negatif, punca kuasa dua itu bukan nombor nyata, dan itulah sebab tiada punca nyata.
Contoh berlangkah: nilai k untuk punca sama
Berikut soalan asal. Persamaan x² + kx + 16 = 0 mempunyai punca sama. Cari nilai k.
- Kenal pasti a = 1, b = k, c = 16.
- Punca sama bermaksud b² − 4ac = 0, maka k² − 4(1)(16) = 0.
- Permudah: k² − 64 = 0, maka k² = 64.
- Selesaikan: k = 8 atau k = −8.
Semak dengan k = 8: x² + 8x + 16 = (x + 4)², yang mempunyai punca berulang pada −4. Dengan k = −8: x² − 8x + 16 = (x − 4)², punca berulang pada 4. Kedua-duanya berfungsi.
Julat nilai
Cari julat m supaya x² − 6x + m = 0 mempunyai punca nyata.
Punca nyata bermaksud b² − 4ac ≥ 0, maka 36 − 4m ≥ 0. Kemudian 36 ≥ 4m dan m ≤ 9.
Sempadan m = 9 memberi kes punca sama, (x − 3)² = 0. Maka ia disertakan.
Garis tangen
Garis y = 4x + c ialah tangen kepada lengkung y = x² + 5. Cari c.
- Samakan ungkapan: x² + 5 = 4x + c.
- Susun semula kepada sifar: x² − 4x + (5 − c) = 0.
- Tangen menyentuh sekali, maka b² − 4ac = 0: (−4)² − 4(1)(5 − c) = 0.
- Permudah: 16 − 20 + 4c = 0, maka 4c = 4 dan c = 1.
Semak: x² − 4x + 4 = 0 memberi x = 2, maka titik sentuhan ialah (2, 9). Garis y = 4x + 1 pada x = 2 memberi y = 9. Keduanya bertemu di situ.
Kesilapan yang menghilangkan markah
Kesilapan biasa ialah membalikkan ketaksamaan bagi “tiada punca nyata”. Ambil x² + kx + 9 = 0 tanpa punca nyata.
| Langkah | Salah | Betul |
|---|---|---|
| Syarat | b² − 4ac > 0 | b² − 4ac < 0 |
| Kerja | k² − 36 > 0 | k² − 36 < 0 |
| Julat k | k < −6 atau k > 6 | −6 < k < 6 |
Uji satu nilai. Bagi k = 7, diskriminan ialah 49 − 36 = 13, yang positif, maka x² + 7x + 9 = 0 mempunyai dua punca nyata. Maka k = 7 tidak memberi “tiada punca nyata”, dan ia berada di luar julat yang betul. Julat yang betul dicari dengan kaedah dalam menyelesaikan ketaksamaan kuadratik menggunakan selang.
Semak sendiri
Persamaan 3x² − 4x + k = 0 mempunyai dua punca nyata yang berbeza. Cari julat k.
Jawapan
Dua punca nyata yang berbeza bermaksud b² − 4ac > 0.
(−4)² − 4(3)(k) > 0, maka 16 − 12k > 0 dan 12k < 16.
Maka k < 4/3.
Semak dengan k = 1: 3x² − 4x + 1 = (3x − 1)(x − 1), dua punca berbeza. Dengan k = 2: 16 − 24 negatif, maka tiada punca nyata. Ia sepadan.
Apa yang perlu dipelajari seterusnya
Diskriminan memberitahu berapa punca yang ada. Melengkapkan kuasa dua memberitahu di mana titik pusingan. Teruskan dengan melengkapkan kuasa dua untuk mencari titik pusingan, kemudian gunakan set latihan.
Jika anda mahu guru menyemak setiap langkah ketaksamaan pada soalan baharu, lihat tuisyen Matematik Tambahan dalam talian satu lawan satu.