Bagi pembolehubah binomial X dengan n percubaan dan kebarangkalian kejayaan p, P(X = r) = nCr × p^r × q^(n − r), dengan q = 1 − p. Rumus ini mendarabkan bilangan cara memilih percubaan yang berjaya dengan kebarangkalian bagi satu susunan sedemikian.
Pelajaran ini menyambung mengenal pasti syarat binomial dalam bab taburan kebarangkalian. Bahagian nCr diajar dalam pilih atur dan gabungan.
Bagaimana menetapkan rumus?
Tulis X ~ B(n, p) dahulu, dan namakan n, p dan q. Kemudian tulis rumus dengan nilai di tempatnya sebelum menggunakan kalkulator. Ini menunjukkan markah kaedah dan membantu anda mengesan p dan q yang tertukar lebih awal.
Contoh penyelesaian: kuiz aneka pilihan
Satu kuiz mempunyai 6 soalan, setiap satu dengan 4 pilihan dan tepat satu jawapan betul. Seorang pelajar meneka semua jawapan. Biar X ialah bilangan jawapan betul, maka X ~ B(6, 0.25) dan q = 0.75.
Tepat 2 betul.
P(X = 2) = 6C2 × 0.25² × 0.75⁴ = 15 × 0.0625 × 0.31640625 = 0.2966 (4 t.p.).
Sekurang-kurangnya 1 betul. Guna pelengkap:
P(X ≥ 1) = 1 − P(X = 0) = 1 − 0.75⁶ = 1 − 0.17798 = 0.8220.
Sekurang-kurangnya 4 betul. Tambah tiga kes.
- P(X = 4) = 6C4 × 0.25⁴ × 0.75² = 15 × 0.00390625 × 0.5625 = 0.03296
- P(X = 5) = 6C5 × 0.25⁵ × 0.75 = 6 × 0.0009765625 × 0.75 = 0.00439
- P(X = 6) = 0.25⁶ = 0.00024
Jumlahnya ialah 0.03296 + 0.00439 + 0.00024 = 0.0376 (4 t.p.).
Kesilapan yang menghilangkan markah
Kesilapan lazim ialah menukar p dan q, atau meninggalkan nCr. Kedua-duanya memberi jawapan yang masih kelihatan seperti kebarangkalian, maka ralat mudah terlepas pandang.
| Bahagian | Salah | Betul |
|---|---|---|
| Memilih percubaan yang berjaya | ditinggalkan | 6C2 = 15 |
| Faktor kejayaan | 0.75² | 0.25² |
| Faktor kegagalan | 0.25⁴ | 0.75⁴ |
| Hasil | kecil, tidak disemak | 0.2966 |
Semakan pantas: bilangan yang paling berkemungkinan patut berada dekat np = 1.5. Maka P(X = 2) sekitar 0.30 adalah munasabah, dan hasil sekitar 0.002 tidak.
Semak kendiri
Sebuah kilang mendapati 10% mentol rosak. Satu kotak memuatkan 5 mentol yang dipilih secara tidak bersandar. Cari kebarangkalian tepat 1 mentol rosak, dan kebarangkalian tiada satu pun rosak.
Jawapan
X ~ B(5, 0.1) dan q = 0.9.
P(X = 1) = 5C1 × 0.1 × 0.9⁴ = 5 × 0.1 × 0.6561 = 0.3281 (4 t.p.).
P(X = 0) = 0.9⁵ = 0.5905 (4 t.p.).
Semak: kedua-duanya ditambah kes yang tinggal mesti berjumlah 1, dan 0.3281 + 0.5905 = 0.9186 meninggalkan 0.0814 untuk 2 atau lebih mentol rosak, yang munasabah.
Apa yang dipelajari seterusnya?
Teruskan dengan mencari min dan varians pembolehubah binomial, yang meringkaskan seluruh taburan dalam dua nombor. Lembaran struktur soalan cerita (Bahasa Inggeris) membantu anda mencari n, p dan peristiwa dalam soalan panjang.
Jika anda sukar menyediakan rumus binomial, lihat tuisyen Matematik Tambahan dalam talian satu lawan satu.