Lapan soalan asal ini mengikut urutan pelajaran dalam janjang. Mulakan setiap penyelesaian dengan menyatakan jenis janjang dan nilai a, d atau r, dan n.
Soalan
Soalan 1
Suatu janjang aritmetik ialah 4, 9, 14, … Cari T₂₀ dan S₂₀.
Jawapan
a = 4, d = 5, n = 20.
T₂₀ = 4 + 19 × 5 = 4 + 95 = 99.
S₂₀ = 20/2 × (4 + 99) = 10 × 103 = 1 030.
Soalan 2
Dalam suatu janjang aritmetik, T₄ = 17 dan T₉ = 42. Cari a dan d, kemudian cari S₁₂.
Jawapan
T₉ − T₄ = 5d, maka 42 − 17 = 5d dan d = 5.
T₄ = a + 3d = 17, maka a + 15 = 17 dan a = 2.
S₁₂ = 12/2 × [2(2) + 11(5)] = 6 × (4 + 55) = 6 × 59 = 354.
Semak: T₉ = 2 + 8 × 5 = 42.
Soalan 3
Suatu janjang geometri ialah 3, 12, 48, … Cari T₅ dan S₅.
Jawapan
a = 3, r = 4, n = 5.
T₅ = 3 × 4⁴ = 3 × 256 = 768.
S₅ = 3(4⁵ − 1) ÷ (4 − 1) = 3 × 1 023 ÷ 3 = 1 023.
Semak dengan menjumlahkan: 3 + 12 + 48 + 192 + 768 = 1 023.
Soalan 4
Dalam suatu janjang geometri, T₂ = 6 dan T₅ = 162. Cari r dan a, kemudian cari S₆.
Jawapan
T₅ ÷ T₂ = r³, maka r³ = 162 ÷ 6 = 27 dan r = 3.
T₂ = ar = 6, maka 3a = 6 dan a = 2.
S₆ = 2(3⁶ − 1) ÷ (3 − 1) = 2 × 728 ÷ 2 = 728.
Semak: T₅ = 2 × 3⁴ = 162.
Soalan 5
Cari hasil tambah ketakterhinggaan siri geometri 24 + 8 + 8/3 + …
Jawapan
r = 8 ÷ 24 = 1/3, dan |1/3| < 1, maka hasil tambah wujud.
S∞ = 24 ÷ (1 − 1/3) = 24 ÷ (2/3) = 24 × 3/2 = 36.
Soalan 6
Sebuah siri geometri mempunyai sebutan pertama 20 dan sebutan kedua 5k. (a) Cari julat k supaya hasil tambah ketakterhinggaan wujud. (b) Cari hasil tambah ketakterhinggaan apabila k = 3.
Jawapan
(a) r = 5k ÷ 20 = k/4. Syaratnya −1 < k/4 < 1, maka −4 < k < 4.
(b) Apabila k = 3, r = 0.75. S∞ = 20 ÷ (1 − 0.75) = 20 ÷ 0.25 = 80.
Soalan 7
Seorang pelajar mendeposit RM120 pada bulan Januari. Setiap bulan dia mendeposit RM15 lebih daripada bulan sebelumnya. Cari jumlah depositnya menjelang Disember.
Jawapan
Jumlah yang sama ditambah setiap bulan, maka ini aritmetik dengan a = 120, d = 15, n = 12.
S₁₂ = 12/2 × [2(120) + 11(15)] = 6 × (240 + 165) = 6 × 405 = RM2 430.
Semak: Disember ialah T₁₂ = 120 + 165 = 285, dan 6 × (120 + 285) = 2 430.
Soalan 8
Sejenis tumbuhan kolam rekaan kini meliputi 6 m² dan bertambah 30% setiap minggu. (a) Cari luas selepas 3 minggu. (b) Cari bilangan minggu bulat terkecil supaya luas itu pertama kali melebihi 40 m².
Jawapan
Kenaikan 30% mendarab dengan 1.3, maka ini geometri dengan a = 6 dan r = 1.3. Luas sekarang ialah T₁, maka “selepas n minggu” ialah T dengan kedudukan n + 1.
(a) Selepas 3 minggu: T₄ = 6 × 1.3³ = 6 × 2.197 = 13.182, maka 13.18 m² (2 tempat perpuluhan).
(b) Selesaikan 6 × 1.3ⁿ > 40, maka 1.3ⁿ > 6.667.
Dengan logaritma: n > log 6.667 ÷ log 1.3 = 0.8239 ÷ 0.1139 = 7.23.
Semak: selepas 7 minggu luasnya 6 × 1.3⁷ = 37.65, di bawah 40. Selepas 8 minggu luasnya 6 × 1.3⁸ = 48.94, di atas 40. Maka 8 minggu.
Jika anda tersilap
| Soalan | Kemahiran untuk diulang kaji |
|---|---|
| 1 dan 2 | Sebutan dan hasil tambah janjang aritmetik |
| 3 dan 4 | Sebutan dan hasil tambah janjang geometri |
| 5 dan 6 | Syarat hasil tambah ketakterhinggaan |
| 7 dan 8 | Menukar cerita bayaran dan pertumbuhan kepada janjang |
Catat setiap kesilapan dalam log kesilapan dan semakan ralat kertas. Jika jenis kesilapan yang sama terus berulang, lihat tuisyen Matematik Tambahan dalam talian satu lawan satu.