Dalam janjang geometri, setiap sebutan diperoleh dengan mendarab sebutan sebelumnya dengan nombor r yang sama. Sebutan ke-n ialah Tn = ar^(n−1), dan hasil tambah n sebutan pertama ialah Sn = a(rⁿ − 1) ÷ (r − 1).
Pelajaran ini sebahagian daripada janjang. Ia mengikuti sebutan dan hasil tambah janjang aritmetik, dan strukturnya serupa.
Apa maksud a, r dan n?
- a ialah sebutan pertama.
- r ialah nisbah sepunya. Cari dengan membahagi mana-mana sebutan dengan sebutan sebelumnya.
- n ialah kedudukan sebutan yang anda mahu.
Tulis ketiga-tiganya dahulu. Kemudian semak r dengan membahagi sebutan kedua dengan yang pertama dan sebutan ketiga dengan yang kedua.
Contoh berlangkah: satu sebutan dan satu hasil tambah
Berikut contoh rekaan. Sebuah janjang geometri mempunyai sebutan pertama 4 dan nisbah sepunya 3. Cari T₆ dan S₆.
T₆. T₆ = 4 × 3⁵ = 4 × 243 = 972.
S₆. S₆ = 4(3⁶ − 1) ÷ (3 − 1) = 4 × 728 ÷ 2 = 1 456.
Semak dengan menjumlahkan sebutan: 4 + 12 + 36 + 108 + 324 + 972 = 1 456. Kedua-duanya sepadan.
Kesilapan yang menghilangkan markah
Kesilapan biasa ialah menggunakan kuasa n dan bukan n − 1, sehingga T₆ = 4 × 3⁶ = 2 916. Ia nampak wajar kerana n = 6.
| Langkah | Salah | Betul |
|---|---|---|
| Kuasa r | 6 | 5 |
| T₆ | 4 × 729 | 4 × 243 |
| Hasil | 2 916 | 972 |
Ujiannya ialah T₁ = a. Dengan kuasa yang salah, T₁ = 4 × 3¹ = 12, iaitu sebutan kedua dan bukan yang pertama. Kuasa yang betul memberi T₁ = 4 × 3⁰ = 4.
Mencari r dan a daripada dua sebutan
Andaikan T₂ = 10 dan T₅ = 1 250. Cari janjang itu.
- Bahagi untuk menghapuskan a: T₅ ÷ T₂ = r³, kerana tiga pendaraban memisahkan keduanya. Maka r³ = 1 250 ÷ 10 = 125.
- Selesaikan: r = 5.
- Gantikan: T₂ = ar = 10, maka 5a = 10 dan a = 2.
- Semak: T₅ = 2 × 5⁴ = 2 × 625 = 1 250. Sepadan.
Bagi janjang aritmetik anda menolak, dan bagi janjang geometri anda membahagi. Jurang antara nombor sebutan (5 − 2 = 3) menjadi kuasa.
Nisbah kurang daripada 1
Ambil a = 8 dan r = 1/2. Cari S₅.
Bagi r < 1, guna S₅ = a(1 − r⁵) ÷ (1 − r) = 8 × (1 − 1/32) ÷ (1/2) = 8 × (31/32) × 2 = 31/2 = 15.5.
Semak dengan menjumlahkan: 8 + 4 + 2 + 1 + 0.5 = 15.5.
Semak sendiri
Sebuah janjang geometri mempunyai a = 3 dan r = −2. Cari T₅ dan S₄.
Jawapan
T₅ = 3 × (−2)⁴ = 3 × 16 = 48.
S₄ = 3 × [(−2)⁴ − 1] ÷ (−2 − 1) = 3 × 15 ÷ (−3) = −15.
Semak dengan menjumlahkan: 3 − 6 + 12 − 24 = −15. Kurungan di sekeliling −2 penting, kerana −2⁴ bermaksud −16.
Apa yang perlu dipelajari seterusnya
Jika nisbahnya pecahan kecil, hasil tambah menghampiri satu nilai tetap dan tidak terus membesar. Teruskan dengan menggunakan syarat hasil tambah ketakterhinggaan, kemudian latih kedua-dua jenis dalam set latihan.
Jika kuasa dan indeks menyukarkan anda, ulang kaji indeks, surd dan logaritma. Jika anda mahu guru menyemak baris pertama anda pada soalan baharu, lihat tuisyen Matematik Tambahan dalam talian satu lawan satu.