Apabila halaju diberi sebagai fungsi masa, mengamirkannya memberi kedudukan s, dengan pemalar yang datang daripada satu kedudukan yang diketahui. Kamiran tentu bagi halaju pula memberi sesaran antara dua masa.
Pelajaran ini ialah sebahagian daripada gerakan linear dalam Matematik Tambahan SPM. Ia bergantung pada sesaran, halaju dan pecutan.
Contoh penyelesaian: kedudukan dan sesaran
Suatu zarah bergerak pada garis lurus dengan halaju v = 3t² − 4t m/s. Apabila t = 1, sesarannya dari O ialah 2 m. Cari (a) sesarannya dari O apabila t = 3, dan (b) sesarannya antara t = 1 dan t = 3.
Cari s sebagai fungsi t. s = ∫ (3t² − 4t) dt = t³ − 2t² + c.
Gunakan t = 1, s = 2: 1 − 2 + c = 2, maka c = 3. Jadi s = t³ − 2t² + 3.
(a) Kedudukan pada t = 3. s = 27 − 18 + 3 = 12 m dari O.
(b) Sesaran dari t = 1 ke t = 3. Gunakan kamiran tentu, yang tidak memerlukan pemalar:
∫ (3t² − 4t) dt dari 1 ke 3 = [t³ − 2t²] dari 1 ke 3 = (27 − 18) − (1 − 2) = 9 + 1 = 10 m.
Menyelaraskan dua jawapan
Kedudukan pada t = 3 ialah 12 m dan kedudukan pada t = 1 ialah 2 m. Perubahannya ialah 12 − 2 = 10 m, dan ini sepadan dengan bahagian (b).
Inilah semakan yang boleh dibuat setiap kali: sesaran dalam sela sama dengan kedudukan akhir tolak kedudukan awal.
Kesilapan yang menyebabkan kehilangan markah
Silap yang biasa berlaku ialah memberi kedudukan apabila soalan meminta sesaran, atau sebaliknya. Kedua-duanya menggunakan pengamiran yang sama, jadi langkah kerja kelihatan betul.
| Frasa soalan | Maksud | Jawapan di sini |
|---|---|---|
| “sesaran dari O apabila t = 3” | Kedudukan pada t = 3 | 12 m |
| “sesaran antara t = 1 dan t = 3” | Perubahan kedudukan | 10 m |
| “jarak keseluruhan” | Kemahiran lain, perlu dipecahkan | Tidak diperoleh daripada keduanya |
Garis bawahi masa dan titik rujukan dalam soalan sebelum bermula. Frasa “dari O” meminta kedudukan, dan “antara” atau “dalam” meminta perubahan.
Menggunakan kamiran tentu terus
Jika hanya sesaran antara dua masa diperlukan, langkau terus pencarian s. Tulis kamiran tentu, kamirkan, dan tolak.
Jika soalan tidak memberi syarat untuk mencari pemalar, itu isyarat bahawa kamiran tentu dijangka.
Semak kefahaman anda
Suatu zarah mempunyai halaju v = 4t − 2 m/s. Pada t = 0, sesarannya dari O ialah 5 m. Cari sesarannya dari O pada t = 3, dan sesarannya dalam sela t = 1 hingga t = 3.
Jawapan
s = 2t² − 2t + c. Dengan t = 0, s = 5 memberi c = 5, maka s = 2t² − 2t + 5.
Pada t = 3: s = 18 − 6 + 5 = 17 m dari O.
Bagi sela: ∫ (4t − 2) dt dari 1 ke 3 = [2t² − 2t] dari 1 ke 3 = (18 − 6) − (2 − 2) = 12 m.
Semakan: s(1) = 2 − 2 + 5 = 5, dan 17 − 5 = 12.
Apa yang perlu dipelajari seterusnya
Sesaran sifar boleh menyembunyikan perjalanan yang jauh. Teruskan dengan membezakan jarak keseluruhan daripada sesaran, kemudian cuba set latihan gerakan linear.
Sisi pengamiran dibincangkan dalam menilai kamiran tentu. Untuk guru menyemak langkah kerja anda, lihat tuisyen Matematik Tambahan dalam talian secara satu lawan satu.