Sesaran ialah perubahan bersih kedudukan, dan jarak keseluruhan ialah seluruh panjang lintasan yang dilalui. Kedua-duanya berbeza apabila zarah berpatah balik, jadi jarak memerlukan perjalanan dipecahkan di setiap titik berpatah balik.
Pelajaran ini ialah sebahagian daripada gerakan linear dalam Matematik Tambahan SPM. Ia bergantung pada mencari sesaran daripada fungsi halaju.
Contoh penyelesaian: satu perjalanan, dua jawapan
Suatu zarah bergerak pada garis lurus dengan halaju v = t² − 6t + 8 m/s bagi 0 ≤ t ≤ 5. Cari sesaran dan jarak keseluruhannya dalam 5 saat itu.
Langkah 1: kamirkan. F(t) = t³/3 − 3t² + 8t.
Langkah 2: sesaran. F(5) = 125/3 − 75 + 40 = 125/3 − 35 = 20/3, dan F(0) = 0. Sesaran = 20/3 m.
Langkah 3: titik berpatah balik. v = (t − 2)(t − 4), maka v = 0 pada t = 2 dan t = 4. Kedua-duanya berada dalam sela.
| Sela | Tanda v | F di hujung | Perubahan |
|---|---|---|---|
| 0 ke 2 | positif | F(2) = 20/3 | +20/3 |
| 2 ke 4 | negatif | F(4) = 16/3 | −4/3 |
| 4 ke 5 | positif | F(5) = 20/3 | +4/3 |
Di sini F(2) = 8/3 − 12 + 16 = 20/3, dan F(4) = 64/3 − 48 + 32 = 16/3.
Langkah 4: tambah saiz. Jarak = 20/3 + 4/3 + 4/3 = 28/3 = 9⅓ m.
Sesaran ialah 6⅔ m, tetapi zarah menempuh 9⅓ m. Perbezaannya ialah dua kali jarak ke belakang, iaitu 2 × 4/3.
Kesilapan yang menyebabkan kehilangan markah
Silap yang biasa berlaku ialah melaporkan F(5) − F(0) sebagai jarak. Bahagian positif dan negatif separuh membatalkan, jadi nombornya lebih kecil daripada panjang lintasan.
| Langkah | Salah | Betul |
|---|---|---|
| Sela | Satu kamiran, 0 ke 5 | Pecahkan pada t = 2 dan t = 4 |
| Nilai | 20/3 | +20/3, −4/3, +4/3 |
| Jarak | 20/3 m | 28/3 m |
Silap kedua ialah memecahkan pada masa yang salah, misalnya menyelesaikan a = 0 dan bukan v = 0. Arah berubah di tempat halaju sifar, bukan pecutan sifar.
Kaedah yang boleh digunakan semula
- Kamirkan v untuk mendapat F(t), iaitu kedudukan sehingga satu pemalar.
- Selesaikan v = 0 dan simpan punca dalam sela.
- Nilaikan F pada permulaan, setiap punca dan penghujung.
- Ambil saiz positif setiap perbezaan dan tambahkan untuk jarak.
- Tambah perbezaan bertanda untuk sesaran.
Jika anda mahu gambaran perjalanan, lukis graf halaju dan lorek rantau di atas dan di bawah paksi masa. Jarak ialah jumlah luas berlorek.
Semak kefahaman anda
Suatu zarah mempunyai halaju v = 6 − 2t m/s bagi 0 ≤ t ≤ 5. Cari sesaran dan jarak keseluruhan.
Jawapan
F(t) = 6t − t². Maka v = 0 pada t = 3, di dalam sela.
F(0) = 0, F(3) = 18 − 9 = 9 dan F(5) = 30 − 25 = 5.
Sesaran = 5 − 0 = 5 m.
Jarak = |9 − 0| + |5 − 9| = 9 + 4 = 13 m.
Semakan: zarah bergerak 9 m ke hadapan, kemudian kembali 4 m, jadi ia berada 5 m dari titik mulanya.
Apa yang perlu dipelajari seterusnya
Fahami apa yang berlaku pada setiap titik berpatah balik dalam mentafsir perubahan arah dan rehat seketika. Kemudian cuba set latihan gerakan linear.
Idea luas di sebalik pelajaran ini terdapat dalam pengamiran, sesaran dan jarak. Untuk guru menyemak langkah kerja anda, lihat tuisyen Matematik Tambahan dalam talian secara satu lawan satu.