Bukti geometri koordinat mempunyai tiga bahagian: nyatakan apa yang akan anda tunjukkan, hitung daripada koordinat, kemudian tulis satu ayat yang merumuskan. Rajah boleh membantu anda merancang, tetapi ia tidak pernah menjadi sebahagian daripada bukti.
Pelajaran ini terletak dalam masalah geometri dengan beberapa pendekatan. Alatnya datang daripada kecerunan, titik tengah dan jarak bersama-sama.
Mengapa rajah tidak boleh dipercayai?
Pemeriksa melukis rajah untuk menunjukkan susun atur, bukan ukuran. Dua sisi yang kelihatan sama mungkin berbeza, dan sudut yang kelihatan 90° mungkin bukan.
Jadi hujah mesti datang daripada koordinat. Tulis “AB² = …” dan “BC² = …” dan bandingkan nombor, bukan tanggapan.
Contoh penyelesaian 1: segi tiga sama kaki bersudut tegak
Titik-titiknya ialah A(1, 2), B(5, 4) dan C(3, 8). Tunjukkan bahawa segi tiga ABC ialah segi tiga sama kaki dan bersudut tegak.
Dakwaan. Dua sisi adalah sama dan bertemu pada sudut tegak.
Pengiraan. AB² = (5 − 1)² + (4 − 2)² = 16 + 4 = 20. BC² = (3 − 5)² + (8 − 4)² = 4 + 16 = 20. AC² = (3 − 1)² + (8 − 2)² = 4 + 36 = 40.
Kesimpulan. AB = BC, jadi segi tiga itu sama kaki. Juga AB² + BC² = 20 + 20 = 40 = AC², jadi dengan akas teorem Pythagoras sudut di B ialah 90°.
Contoh penyelesaian 2: titik segaris
Tunjukkan bahawa P(−1, 1), Q(2, 7) dan R(4, 11) terletak pada satu garis lurus.
Kecerunan PQ = (7 − 1) ÷ (2 + 1) = 6 ÷ 3 = 2. Kecerunan QR = (11 − 7) ÷ (4 − 2) = 4 ÷ 2 = 2.
Kedua-dua kecerunan adalah sama dan kedua-dua tembereng mengandungi Q, jadi P, Q dan R adalah segaris.
Contoh penyelesaian 3: segi empat selari
Titik-titiknya ialah A(0, 0), B(6, 2), C(8, 6) dan D(2, 4). Tunjukkan bahawa ABCD ialah segi empat selari.
Titik tengah AC ialah (4, 3). Titik tengah BD ialah ((6 + 2) ÷ 2, (2 + 4) ÷ 2) = (4, 3).
Pepenjuru berkongsi titik tengah, jadi ia membahagi dua sama satu sama lain, dan sisi empat yang pepenjurunya membahagi dua sama satu sama lain ialah segi empat selari.
Kesilapan yang menyebabkan markah hilang
Bandingkan jawapan lemah dengan jawapan penuh.
| Jawapan lemah | Jawapan penuh |
|---|---|
| “Daripada rajah, AB kelihatan sama dengan BC.” | “AB² = 20 dan BC² = 20, jadi AB = BC.” |
| “Kecerunannya sama.” | “Kecerunan PQ = 2 dan kecerunan QR = 2, dan Q ialah titik sepunya, jadi P, Q, R adalah segaris.” |
| Pengiraan sahaja, tiada baris akhir. | Ayat penutup yang menamakan sifat yang dibuktikan. |
Semak kendiri
Titik-titiknya ialah P(0, 0), Q(4, 2) dan R(3, 4). Tunjukkan bahawa sudut PQR ialah sudut tegak dan cari luas segi tiga PQR.
Jawapan
Kecerunan PQ = 2 ÷ 4 = 1/2. Kecerunan QR = (4 − 2) ÷ (3 − 4) = 2 ÷ (−1) = −2.
Hasil darabnya (1/2)(−2) = −1, jadi PQ berserenjang dengan QR, dan sudut PQR = 90°.
PQ = √(16 + 4) = √20 dan QR = √(1 + 4) = √5. Luas = 1/2 × √20 × √5 = 1/2 × √100 = 5 unit persegi.
Apa yang perlu dipelajari seterusnya?
Berlatih memilih alat yang betul dalam latihan geometri bercampur, atau lihat bagaimana parameter dicari dalam garis yang menyentuh lengkung pada satu titik.
Supaya guru membaca hujah bertulis anda dan menunjukkan di mana markah hilang, lihat tuisyen Matematik Tambahan dalam talian satu lawan satu.