Logaritma menjawab soalan ini: kuasa berapakah bagi asas yang memberi nombor tersebut? Hukum logaritma ialah hukum indeks dalam bentuk lain, dan setiap hukum hanya sah apabila semua logaritma di dalamnya tertakrif.
Pelajaran ini ialah sebahagian daripada bab indeks, surd dan logaritma dalam Matematik Tambahan SPM. Jika indeks masih goyah, mulakan dengan menggunakan hukum indeks dengan kuasa pecahan.
Apakah hukum logaritma?
Pernyataan log₂ 8 = 3 sama maksudnya dengan 2³ = 8. Semua hukum di bawah menggunakan asas yang sama.
| Hukum | Contoh |
|---|---|
| log(xy) = log x + log y | log₂ 4 + log₂ 8 = log₂ 32 = 5 |
| log(x ÷ y) = log x − log y | log₃ 18 − log₃ 2 = log₃ 9 = 2 |
| log(xⁿ) = n log x | log₅ (25³) = 3 × 2 = 6 |
| log_a 1 = 0 dan log_a a = 1 | log₇ 1 = 0, log₇ 7 = 1 |
| log_a b = log_c b ÷ log_c a | log₄ 32 = 5 ÷ 2 |
Contoh: menggabungkan logaritma
Ringkaskan log₃ 12 + log₃ 6 − log₃ 8 kepada satu nombor.
Penambahan log mendarabkan nombor, dan penolakan membahagikannya. Maka log₃ 12 + log₃ 6 − log₃ 8 = log₃ (12 × 6 ÷ 8) = log₃ 9 = 2.
Hukum yang sama boleh dipakai ke arah sebaliknya. Jika log₂ 3 = p dan log₂ 5 = q, maka log₂ 45 = log₂ (9 × 5) = 2p + q, dan log₂ 0.6 = log₂ (3 ÷ 5) = p − q.
Kesilapan yang menyebabkan kehilangan markah
Kesilapan ini berlaku apabila log x² ditulis sebagai 2 log x tanpa bertanya sama ada x boleh negatif. Hukum tersebut memerlukan x > 0 kerana log x mesti wujud.
Ambil x = −3. Sebelah kiri ialah log₂ 9, yang tertakrif dan sama dengan 2 log₂ 3. Sebelah kanan, 2 log₂ (−3), tidak tertakrif.
| Langkah | Salah | Betul |
|---|---|---|
| Menulis semula log₂ x² | 2 log₂ x sentiasa | 2 log₂ x hanya jika x > 0 |
| Nilai x = −3 | Diterima | log₂ x tak tertakrif, hukum tidak boleh digunakan |
| Bentuk selamat | (tiada) | 2 log₂ |x| |
Semakan domain dalam persamaan
Dalam persamaan, selesaikan dahulu, kemudian uji setiap jawapan terhadap domain. Setiap nombor di dalam logaritma mesti positif.
Selesaikan log₃ x + log₃ (x − 2) = 1. Gabungkan: log₃ x(x − 2) = 1, maka x(x − 2) = 3 dan x² − 2x − 3 = 0, iaitu (x − 3)(x + 1) = 0.
Nilai x = −1 ditolak kerana log₃ (−1) tak tertakrif. Jadi x = 3. Semakan: log₃ 3 + log₃ 1 = 1 + 0 = 1.
Menukar asas
Penukaran asas membolehkan anda menulis logaritma dalam asas yang sesuai dengan soalan. Cari log₄ 32.
Tulis 4 dan 32 sebagai kuasa 2. Maka log₄ 32 = log₂ 32 ÷ log₂ 4 = 5 ÷ 2 = 2.5. Semak: 4^2.5 = (2²)^2.5 = 2⁵ = 32.
Semak kefahaman anda
Diberi log₅ 3 = n, nyatakan log₅ 75 dan log₅ (3 ÷ 125) dalam sebutan n.
Jawapan
75 = 3 × 25, maka log₅ 75 = log₅ 3 + log₅ 25 = n + 2.
log₅ (3 ÷ 125) = log₅ 3 − log₅ 125 = n − 3.
Semakan berangka dengan n ≈ 0.683: log₅ 75 ≈ 2.683, dan 5^2.683 ≈ 75.
Apakah langkah seterusnya?
Gunakan hukum ini dalam persamaan melalui menyelesaikan persamaan eksponen dan logaritma. Untuk soalan berayat, lembaran struktur soalan berayat (Bahasa Inggeris) membantu anda menyusun langkah.
Uji seluruh bab dengan set latihan bab. Mahu seorang guru menyelesaikan soalan logaritma bersama anda? Lihat tuisyen Matematik Tambahan dalam talian secara satu lawan satu.