Surd ialah punca yang tidak boleh ditulis sebagai pecahan, seperti √2 atau √7, dan dibiarkan dalam bentuk tepat. Memudahkan surd bermaksud mengeluarkan kuasa dua sempurna. Menasionalkan bermaksud menulis semula penyebut supaya tiada surd di dalamnya.
Pelajaran ini sebahagian daripada indeks, surd dan logaritma Matematik Tambahan SPM. Jika punca sebagai kuasa masih goyah, baca dahulu hukum indeks dengan kuasa pecahan.
Bagaimana saya memudahkan surd?
Cari kuasa dua sempurna terbesar yang membahagi nombor itu. Tulis nombor sebagai kuasa dua itu darab bakinya, kemudian ambil punca kuasa dua bagi kuasa dua itu.
√98 = √(49 × 2) = √49 × √2 = 7√2.
Surd hanya boleh ditambah dan ditolak apabila bahagian surdnya sama. Ringkaskan setiap satu dahulu:
√75 + √12 − √27 = 5√3 + 2√3 − 3√3 = 4√3.
Contoh: menasionalkan penyebut
Tulis 10 ÷ √5 tanpa surd pada penyebut. Darabkan atas dan bawah dengan √5, kerana √5 × √5 = 5:
10 ÷ √5 = (10 × √5) ÷ (√5 × √5) = 10√5 ÷ 5 = 2√5.
Apabila penyebut mempunyai dua sebutan, gunakan konjugat. Nasionalkan 6 ÷ (4 − √7). Konjugat bagi 4 − √7 ialah 4 + √7.
Penyebut: (4 − √7)(4 + √7) = 16 − 7 = 9.
Pengangka: 6(4 + √7).
Jadi 6(4 + √7) ÷ 9 = (8 + 2√7) ÷ 3.
Langkah yang melakukan kerja itu ialah beza dua kuasa dua, (a − b)(a + b) = a² − b². Ia membatalkan sebutan silang.
Kesilapan yang menghilangkan markah
Kesilapan yang biasa ialah mengembangkan (√5 + √3)² sebagai 5 + 3 = 8. Sebutan tengah tertinggal, jadi hasilnya kemas tetapi salah.
| Langkah | Salah | Betul |
|---|---|---|
| Kembangkan | (√5)² + (√3)² | (√5)² + 2(√5)(√3) + (√3)² |
| Ringkaskan | 5 + 3 | 5 + 2√15 + 3 |
| Jawapan | 8 | 8 + 2√15 |
Semakan nombor mendedahkannya. √5 + √3 ≈ 3.968, dan kuasa duanya kira-kira 15.7. Nilai 8 jauh berbeza daripada 15.7, manakala 8 + 2√15 ≈ 15.7, jadi bentuk kedua yang betul.
Kaedah yang boleh digunakan semula
- Ringkaskan setiap surd dahulu, keluarkan kuasa dua sempurna.
- Kumpulkan surd serupa dan gabungkannya.
- Bagi penyebut satu sebutan √a, darabkan atas dan bawah dengan √a.
- Bagi penyebut dua sebutan, darabkan atas dan bawah dengan konjugatnya.
- Akhirnya, ringkaskan pengangka dan batalkan sebarang faktor sepunya.
Catat langkah mana yang tersilap dalam log kesilapan, supaya latihan anda menyasarkannya.
Uji diri anda
Nasionalkan 8 ÷ (√7 − √3) dan tulis jawapan dalam bentuk a√7 + b√3.
Jawapan
Konjugat bagi √7 − √3 ialah √7 + √3.
Penyebut: (√7 − √3)(√7 + √3) = 7 − 3 = 4.
Pengangka: 8(√7 + √3).
Maka pecahan ialah 8(√7 + √3) ÷ 4, yang dimudahkan kepada 2√7 + 2√3.
Semak dengan perpuluhan: 8 ÷ (2.6458 − 1.7321) ≈ 8.755, dan 2(2.6458) + 2(1.7321) ≈ 8.756.
Apakah langkah seterusnya?
Topik seterusnya ialah logaritma, songsang bagi indeks. Teruskan dengan hukum logaritma dengan semakan domain, kemudian cuba set latihan bab.
Mahu seorang guru menyelesaikan soalan bentuk tepat bersama anda? Lihat tuisyen Matematik Tambahan dalam talian satu lawan satu.