Fungsi songsang f⁻¹ membatalkan f: jika f menghantar a kepada b, maka f⁻¹ menghantar b kembali kepada a. Dua perkara boleh tersilap, iaitu penyusunan semula dan domain, dan pelajaran ini merangkumi kedua-duanya.
Pelajaran ini menyambung fungsi gubahan mengikut susunan yang betul, kerana semakan di hujungnya ialah suatu gubahan. Ringkasan bab ada di Fungsi.
Bagaimana mencari fungsi songsang?
Gunakan empat langkah. Tulis y = f(x), selesaikan untuk x dalam sebutan y, tukar huruf supaya jawapan berbunyi f⁻¹(x), kemudian nyatakan domain.
Ambil f(x) = (2x + 3) ÷ (x − 1), dengan x ≠ 1.
- y = (2x + 3) ÷ (x − 1), maka y(x − 1) = 2x + 3.
- Kembangkan: yx − y = 2x + 3, maka yx − 2x = y + 3.
- Faktorkan: x(y − 2) = y + 3, maka x = (y + 3) ÷ (y − 2).
- Tukar: f⁻¹(x) = (x + 3) ÷ (x − 2), x ≠ 2.
Syarat x ≠ 2 wujud kerana f tidak pernah menghasilkan output 2. Semak: f(3) = 9 ÷ 2 = 4.5, dan f⁻¹(4.5) = 7.5 ÷ 2.5 = 3. Ia kembali kepada input asal.
Contoh berperingkat: petua sama, dua domain
Biar f(x) = (x − 2)². Pada semua nombor nyata ia tiada fungsi songsang, kerana f(1) = f(3) = 1.
Domain x ≥ 2. Biar y = (x − 2)². Maka x − 2 = ±√y. Oleh sebab x ≥ 2, x − 2 tidak negatif, maka x − 2 = +√y dan x = 2 + √y.
Julat f ialah y ≥ 0, maka f⁻¹(x) = 2 + √x, x ≥ 0.
Domain x ≤ 2. Kini x − 2 tidak positif, maka x − 2 = −√y dan x = 2 − √y.
Fungsi songsangnya ialah f⁻¹(x) = 2 − √x, x ≥ 0. Kedua-dua fungsi songsang hanya berbeza pada tanda, dan domain f menentukan yang mana betul.
Semak yang pertama: f⁻¹(9) = 2 + 3 = 5, dan f(5) = 3² = 9. Ia betul.
Kesilapan yang menghilangkan markah
Kesilapannya ialah menulis ± dalam jawapan akhir, atau memilih tanda tanpa membaca domain. Fungsi songsang ialah fungsi, jadi ia memberi satu output bagi setiap input. Jawapan yang masih ada ± bukan fungsi.
Domain f menentukan tanda. Baca domain sebelum anda mengambil punca kuasa dua.
Semak kendiri
f(x) = x² + 1 dengan domain x ≥ 0. Cari f⁻¹(x) dan f⁻¹(10).
Jawapan
y = x² + 1, maka x² = y − 1. Domain x ≥ 0 bermakna x tidak negatif, maka x = √(y − 1).
Julat f ialah y ≥ 1, maka f⁻¹(x) = √(x − 1), x ≥ 1.
f⁻¹(10) = √9 = 3. Semak: f(3) = 9 + 1 = 10.
Apa langkah seterusnya?
Teruskan ke menyelesaikan persamaan yang melibatkan fungsi tidak diketahui, tempat fungsi songsang dan gubahan muncul bersama. Cuba pasangan anda sendiri dalam penjelajah fungsi gubahan dan songsang (Bahasa Inggeris).
Jika had domain masih tertinggal, tuisyen Matematik Tambahan dalam talian satu lawan satu memberi anda seorang guru yang membaca kerja anda baris demi baris.